Ромб с вписана окръжност

[Ejdvjsjssbj]

Страната на ромб е 12см и острият ъгъл е 60градуса. Намерете радиуса на вписаната в ромба окръжност?
СПЕШНО!!

[Меди]

Здравей!
Нека ромбът е $ABCD$ и диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O.$ Тъй като фигурата е ромб, те са взаимно перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите. Разгледай правоъгълния триъгълник $AOB,$ в който $\measuredangle BAO=\dfrac12\measuredangle BAD=30^\circ.$ Триъгълникът е известен за нас и можем да намерим височината към хипотенузата, която всъщност е търсеният радиус (защо?).

Скрит текст: покажи

Напълно възможно е при теб $\measuredangle BAD=120^\circ,$ но това зависи от наклона на ромба и няма съществено значение в решението на задачата. Така че ми се струва, че е по-добре в началото на решението, което ти показах, да се запише: "Без ограничение на общността може да считаме, че $\measuredangle BAD=60^\circ$."

П.П. Не е необходимо да качваш задачата няколко пъти, особено като коментар във вече съществуващи теми.

[Ejdvjsjssbj]

Попринцип бих я решил така ,но учителят ми я иска с тригонометрична функция

[Меди]

Попринцип бих я решил така ,но учителят ми я иска с тригонометрична функция

$\sin\measuredangle BAO=\sin30^\circ=\dfrac{BO}{AB}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow BO=\dfrac{1}{2}AB=6.$ Сега вече можеш да използваш Питагорова теорема за другия катет. Може и отново с тригонометрична функция обаче: $$\cos\measuredangle BAO=\cos30^\circ=\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=6\sqrt{3}.$$

[Евва]

Скрит текст: покажи

Ето моята идея.

[tex]\angle[/tex]BAD=60[tex]^\circ[/tex]

sin[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\frac{DD_{1 }}{AD}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{2r}{12}[/tex] ...

[S.B.]

И още една идея с тригонометрия:

[tex]\begin{cases} S = a^{2}sin\alpha = 144.\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = 72\sqrt{3} \\ S = p.r = 24.r\end{cases} \Rightarrow 72\sqrt{3} = 24.r \Rightarrow r = 3\sqrt{3}[/tex]