Биквадратно неравенство

[Гост]

[tex]x^{4}[/tex]- 64[tex]x^{2}[/tex] - 256 [tex]\le[/tex] 0

[S.B.]

[tex]x^{4}[/tex]- 64[tex]x^{2}[/tex] - 256 [tex]\le[/tex] 0

$x^{4} - 64x^{2} - 256 \ge 0 \Leftrightarrow x^{4} - 4.4^{2}.x^{2} - 4^{4} \ge 0 |: 4^{4}$
$ \Leftrightarrow (\frac{x}{4})^{4} - 4(\frac{x}{4})^{2} - 1 \ge 0$
Нека [tex](\frac{x}{4})^{2} = t > 0[/tex]
$t^{2} - 4t - 1 = 0$
$D = 20 , t_{1,2 } = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} \Rightarrow t_{1 } = 2 - \sqrt{5} < 0 , t_{2 } = 2 + \sqrt{5}$
$(\frac{x}{4})^{2} = 2 + \sqrt{5} \Leftrightarrow x^{2} = 16(2 + \sqrt{5}) \Rightarrow x_{1,2 } = \pm 4\sqrt{2 + \sqrt{5}}$
$x^{4} - 64x^{2} - 256 \ge 0 \Leftrightarrow (x - 4\sqrt{2 + \sqrt{5}})(x + 4\sqrt{2 + \sqrt{5}})\ge 0$

Без заглавие - 2020-07-16T221109.504.png (160.2 KiB) Прегледано 515 пъти

$x \in (-\infty , - 4\sqrt{2 + \sqrt{5}}] \cup [4\sqrt{2 + \sqrt{5}} , +\infty)$

[S.B.]

[tex]x^{4}[/tex]- 64[tex]x^{2}[/tex] - 256 [tex]\le[/tex] 0

$x^{4} - 64x^{2} - 256 \ge 0 \Leftrightarrow x^{4} - 4.4^{2}.x^{2} - 4^{4} \ge 0 |: 4^{4}$
$ \Leftrightarrow (\frac{x}{4})^{4} - 4(\frac{x}{4})^{2} - 1 \ge 0$
Нека [tex](\frac{x}{4})^{2} = t > 0[/tex]
$t^{2} - 4t - 1 = 0$
$D = 20 , t_{1,2 } = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} \Rightarrow t_{1 } = 2 - \sqrt{5} < 0 , t_{2 } = 2 + \sqrt{5}$
$(\frac{x}{4})^{2} = 2 + \sqrt{5} \Leftrightarrow x^{2} = 16(2 + \sqrt{5}) \Rightarrow x_{1,2 } = \pm 4\sqrt{2 + \sqrt{5}}$
$x^{4} - 64x^{2} - 256 \ge 0 \Leftrightarrow (x - 4\sqrt{2 + \sqrt{5}})(x + 4\sqrt{2 + \sqrt{5}})\ge 0$

Без заглавие - 2020-07-16T221109.504.png

$x \in (-\infty , - 4\sqrt{2 + \sqrt{5}}] \cup [4\sqrt{2 + \sqrt{5}} , +\infty)$

Искрено съжалявам,но още от началото съм "обърнала" знака на неравенството и вместо
[tex]x^{4} - 64x^{2} - 256 \le 0[/tex] съм решавала $x^{4} - 64x^{2} - 256 \ge 0$
Благодаря на колегата ,който на Л.С. ми посочи грешката!
В такъв случай финала на решението би трябвало да бъде:
$x^{4} - 64x^{2} - 256 \le 0 \Leftrightarrow (x - 4\sqrt{2 + \sqrt{5}})(x + 4\sqrt{2 - \sqrt{5}})\le 0 $
$x \in [-4\sqrt{2 + \sqrt{5}} ; 4\sqrt{2 + \sqrt{5}}]$