Три симетрали се пресичат в една точка

[Меди]

Даден е $\measuredangle pAq.$ Върху лъча $q$ са взети точки $B$ и $C,$ а върху лъча $p$ $-$ точки $D$ и $E,$ така че $AB=3$ $cm,BC=5$ $cm,AD=2$ $cm$ и $DE=10$ $cm.$ Да се докаже, че симетралите на $BD,BC$ и $DE$ се пресичат в една точка.

Чертеж.png (16.35 KiB) Прегледано 539 пъти

Триъгълниците $ACE$ и $ADB$ са подобни по втори признак, защото 1) пропорцията $\dfrac32=\dfrac{12}{8}$ е вярна и тогава $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AC};$ и 2) ъгъл $A$ е общ. Това прави четириъгълникът $BDEC$ вписан в окръжност $\color{green}{k}$. Как мога да докажа, че симетралите на страните на четириъгълника се пресичат в една точка? Благодаря предварително!

Скрит текст: покажи

Можем да добавим и четвъртата страна $CE$ на четириъгълника в списъка с отсечките, чиито симетрали трябва да докажем, че се пресичат в една точка.

[KOPMOPAH]

Ако около четириъгълника $BCDE$ се опише окръжност (което си доказал), то симетралите на хордите минават през центъра й, а той е един