Пресичащи се окръжности

[Меди]

Две окръжности имат обща хорда $AB.$ Точка $P$ е от правата $AB,$ но вън от двете окръжности. През $P$ минават две прави, едната от които пресича първата окръжност, а другата $-$ втората. Да се докаже, че пресечните точки на правите с окръжностите лежат на една окръжност.

Чертеж.png (17.34 KiB) Прегледано 595 пъти

Трябва да докажем, че около $MNKQ$ може да се опише окръжност. Най-интуитивният начин е да се опитаме да докажем, че сборът на коя да е негова двойка срещуположни ъгли е $180^\circ.$ Подобно на конфигурацията на миналата задача, която качих във форума, ако докажем, че триъгълниците $NKP$ и $QMP$ са подобни, това би следвало. За тях засега имаме само общия ъгъл при върха $P.$ Втори и трети признак не ми се струва, че са приложими тук, така че остава само първи, ако държим на подобието. Не успявам да докажа равенство на ъгли. Благодаря Ви предварително!

[KOPMOPAH]

Разглеждаме окръжността с център $O_1$. За нея $PN$ и $PB$ са секущи, следователно:$$PM.PN=PA.PB~~~~~~~~(1)$$
Сега разглеждаме окръжността с център $O_2$. За нея $PK$ и $PB$ са секущи, следователно:$$PQ.PK=PA.PB~~~~~~~~(2)$$
От равенствата $(1)$ и $(2)$ следва:$$PM.PN=PQ.PK$$
Нататък е ясно, нали?