Ромб, постройте точки М и Н така че векторите ВМ=1/3.АО

[Гост]

АВСД е ромб и т. О е пресечна точка на диагоналите му. а/ Постройте точки М и Н така че векторите ВМ=1/3.АО ДН=1/3.ОС; б/ Докажете, че ВМНД е правоъгълник.

[Гост]

Моля ви за помощ
Може ли
Благодаря предварително !

[AngelBloom]

Ромб.png (10.83 KiB) Прегледано 544 пъти

Чертаем си ромб [tex]ABCD[/tex] с пресечна точка на диагоналите [tex]AC[/tex] и [tex]BD = O[/tex]. Избираме си точка [tex]M[/tex] от [tex]AO[/tex] такава, че [tex]BM = \frac{1}{3}АО[/tex] и [tex]DN = \frac{1}{3}CO[/tex], с други думи: [tex]AO = 3BM[/tex] и [tex]CO = 3DN[/tex]. В ромба диагоналите взаимно се разполoвявaт, тоест: [tex]AO = OC[/tex] и [tex]BO = OD[/tex] и са перпендикулярни [tex]AC \bot BD[/tex] (ъгълът при т. [tex]О[/tex] е [tex]90^\circ[/tex]). В ромба четирите му страни са равни, тоест: [tex]AB = BC = CD = DA[/tex]. От еднаквостта на триъгълниците [tex]\triangle AOB \cong \triangle COB[/tex] (3-ти признак). [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AO}{CO} = \frac{OB}{OB} = \frac{BA}{BC}[/tex], тоест [tex]\frac{AO}{CO} = \frac{OB}{OB}, \frac{AO}{CO} = 1[/tex], като заместим с даденотo ни по условие за [tex]AO[/tex] и [tex]CO[/tex] получаваме, че [tex]\frac{3BM}{3DN} = 1, \frac{BM}{DN} = 1, BM = DN[/tex]. От правоъгълните триъгълници [tex]\triangle BOM[/tex] и [tex]\triangle DON[/tex] по Питагоровата теорема [tex]\Rightarrow[/tex], че: [tex]BM^{2} = BO^{2} + MO^{2}[/tex] за единия и [tex]DN^{2} = DO^{2} + NO^{2}[/tex] за другия. Знаем, че [tex]BM = DN, BM^{2} = DN^{2} \Rightarrow BO^{2} + MO^{2} = DO^{2} + NO^{2}[/tex]. От диагоналът на ромба също знаем, че [tex]BO = DO, BO^{2} = DO^{2}[/tex], тогава ни остава, че: [tex]MO^{2} = NO^{2}, MO = NO[/tex]. Една скоба: ([tex]a+b = a+c \Rightarrow b = c[/tex]). От това и от третия признак за еднаквост следва, че [tex]\triangle BOM \cong \triangle DON[/tex]. По втори признак за еднаквост откриваме, че [tex]\triangle DOM \cong \triangle BON \Rightarrow DM = BN[/tex]. От[tex]\triangle MOB\cong \triangle МОD\cong \triangle DON[/tex] (Първи признак) [tex]\Rightarrow \triangle MND - равнобедрен \Rightarrow DM = DN, \angle MDO = \angle NDO, \angle DMO = \angle DNO[/tex]. [tex]BNDM[/tex] - квадрат и [tex]\angle NDM = 90^\circ, \angle MDO=\angle NDO = 45^\circ[/tex]. От [tex]\triangle MDO, \angle DMO = 90^\circ - \angle MDO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \Rightarrow \triangle MDO[/tex] - равнобедрен и [tex]ОМ = DO, MN = BD\Rightarrow BNDM[/tex] - правоъгълник (диагоналите са равни и имаме ъгъл при страните от [tex]90^\circ[/tex]).

[S.B.]

АВСД е ромб и т. О е пресечна точка на диагоналите му. а/ Постройте точки М и Н така че векторите ВМ=1/3.АО ДН=1/3.ОС; б/ Докажете, че ВМНД е правоъгълник.

Без заглавие - 2020-08-21T172650.322.png (207.36 KiB) Прегледано 487 пъти

Аз имам по- различно мнение

a)
Върху права [tex]p \begin{cases} pZB \\ p ||\vec{AO} \end{cases}[/tex] построявам $\vec{BM } = \frac{1}{3}\vec{AO}$
Върху права $q \begin{cases} qZD \\ q|| \vec{OC} \end{cases}$ построявам $\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{OC}$
б)
$BM ||AC,DN ||AC \Rightarrow BM||DN$
$BM = \frac{1}{3} AO , DN = \frac{1}{3}OC , AO = OC \Rightarrow BM = DN$
Тогава $BMND$ е успоредник
$BM ||AC , AC \bot BD \Rightarrow BM\bot BD \Rightarrow $ успоредникът $BMND$ има прав ъгъл
$\Rightarrow BMND$ е правоъгълник