Вписана и външновписана окръжност в триъгълник

[Меди]

Окръжност с радиус $3$ $cm$ е вписана в $\triangle ABC$ и се допира до $BC$ в точка $D.$ Окръжност с радиус $4$ $cm$ е външновписана в $\triangle ABC,$ като се допира външно до $BC$ в точка $E.$ Да се намери $ED,$ ако $\measuredangle BCA=120^\circ.$

Скрит текст: покажи

Отг. $3\sqrt{3}$ $cm$

Чертеж.png (273.55 KiB) Прегледано 808 пъти

Триъгълниците $O_1EC$ и $ODC$ са с ъгли $30^\circ,60^\circ$ и $90^\circ.$ Имаме известни от условието по един катет и можем да намерим $EC=\sqrt{3}.O_1E=4\sqrt{3}$ и $CD=\dfrac{OD}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$ Следователно $ED=EC+CD=5\sqrt{3}.$
Техният отговор се получава, когато външновписаната окръжност се допира до $BC$ и до продълженията на $AC$ и $AB.$ Подвела ли ме е думата "външно" или правилно съм разбрал условието? Ако бяха написали "се допира до страната $BC$", щеше да е по-ясно...

[S.B.]

Задачата е решена ТУК

[Меди]

Задачата е решена ТУК

С цялото ми уважение към Вас, но не смятам, че сте прочели темата. Особено текста под чертежа. При това във въпросната тема е изпусната думичката "външно", която ме обърква. Погледнах решението и идеята е същата - две Питагорови теореми за $EC$ и $CD.$

[S.B.]

Окръжност с радиус $4$ $cm$ е външновписана в $\triangle ABC,$ като се допира външно до $BC$ в точка $E.$

Бъркаш понятието "страна" на триъгълник с понятието "продължение на страната на триъгълника"На твоя чертеж външновписаната окръжност се допира до страната $AC$ и до продължението на страната $BC$, а в условието ясно е казано,че се допира външно до страната $BC$, а не до продължението на страната $BC$.
За всеки триъгълник съществуват точно 3 външновписани окръжности.Всяка се допира външно точно до една от страните на триъгълника

Без заглавие - 2020-08-23T065941.701.png (260.23 KiB) Прегледано 771 пъти

[Меди]

Окръжност с радиус $4$ $cm$ е външновписана в $\triangle ABC,$ като се допира външно до $BC$ в точка $E.$

Бъркаш понятието "страна" на триъгълник с понятието "продължение на страната на триъгълника"На твоя чертеж външновписаната окръжност се допира до страната $AC$ и до продължението на страната $BC$, а в условието ясно е казано,че се допира външно до страната $BC$, а не до продължението на страната $BC$.
За всеки триъгълник съществуват точно 3 външновписани окръжности.Всяка се допира външно точно до една от страните на триъгълника

Без заглавие - 2020-08-23T065941.701.png

Благодаря за обяснението! Какво означава "се допира външно" (и съответно "се допира вътрешно")? Нали по определение окръжност, която се допира до една от страните на триъгълник и до продължението на другите му две страни, се нарича външновписана за триъгълника.

[S.B.]

Какво означава "се допира външно" (и съответно "се допира вътрешно")? Нали по определение окръжност, която се допира до една от страните на триъгълник и до продължението на другите му две страни, се нарича външновписана за триъгълника.

Ако окръжността $k_{c } (O_{c } , r_{c })$ е външновписана за $\triangle ABC$ окръжност и е казано,че се допира ВЪНШНО до правата $AB$ това означава,че върхът $C$ и центърът $О_{c }$ лежат в различни полуравнини относно $AB$ .