Да се намери стойността на тригонометричен израз

[Меди]

Да се намери стойността на израза $\dfrac{4\sin\alpha-5\cos\alpha}{3\cos\alpha-\sin\alpha},$ ако $\operatorname{cotg}{\alpha}=-2$.

Скрит текст: покажи

Отг. $-2$

Опитвам се да преобразувам израза до такъв, в който участва като тригонометрична функция само $\operatorname{cotg}{\alpha},$ но не успявам. Изобщо този израз може ли да бъде опростен? Другият начин, по който можем да подходим към задачата, е да съставим система от основното тригонометрично тъждество и от дадения котангенс, като знаем, че котангенсът на даден ъгъл е отношението на косинуса и синуса му. Не съм работил по втората идея, защото още не съм се отказал от първата.

[Davids]

Първата ти идея е правилният подход, само не знам как не си видял очевидното
И в числителя, и в знаменателя имаш по един път множител със синус и косинус. Делиш съответно и числителя, и знаменателя на $sin\alpha$ и получаваш:
$A = \frac{\frac{1}{sin\alpha}}{\frac{1}{sin\alpha}}.\frac{4sin\alpha - 5cos\alpha}{3cos\alpha - sin\alpha} = \frac{4 - 5cotg\alpha}{3cotg\alpha - 1} = \frac{4 - 5.(-2)}{3.(-2) - 1} = \frac{14}{-7} = -2$

[S.B.]

Да се намери стойността на израза $\dfrac{4\sin\alpha-5\cos\alpha}{3\cos\alpha-\sin\alpha},$ ако $\operatorname{cotg}{\alpha}=-2$.

Скрит текст: покажи

Отг. $-2$

Опитвам се да преобразувам израза до такъв, в който участва като тригонометрична функция само $\operatorname{cotg}{\alpha},$ но не успявам. Изобщо този израз може ли да бъде опростен? Другият начин, по който можем да подходим към задачата, е да съставим система от основното тригонометрично тъждество и от дадения котангенс, като знаем, че котангенсът на даден ъгъл е отношението на косинуса и синуса му. Не съм работил по втората идея, защото още не съм се отказал от първата.

Ето ти още един вариант:Изнасяш $sin\alpha $ пред скоби в числителя и знаменателя ...

[tex]\displaystyle\frac{4sin\alpha - 5cos\alpha}{3cos\alpha - sin\alpha} = \displaystyle\frac{sin\alpha(4 - 5\displaystyle\frac{cos\alpha}{sin\alpha})}{sin\alpha(3\displaystyle\frac{cos\alpha}{sin\alpha} - 1)} =\displaystyle \frac{sin\alpha(4 - 5cotg\alpha)}{sin\alpha(3cotg\alpha - 1)} = \frac{4 + 10}{-7} = -2[/tex]