Система

[Гост]

Дадена е системата [tex]\begin{array}{|l} x^2 - y^2 = 15 \\ x^2 - 5xy + 5y^2= 1\end{array}[/tex]. Отговорите са (4;1) (-4;-1) [tex](\frac{19}{\sqrt{11}}; \frac{14}{\sqrt{11}})[/tex] и [tex](-\frac{19}{\sqrt{11}}; -\frac{14}{\sqrt{11}})[/tex]. Благодаря предварително!

[Sup3rlum]

Дадена е системата [tex]\begin{array}{|l} x^2 - y^2 = 15 \\ x^2 - 5xy + 5y^2= 1\end{array}[/tex]. Отговорите са (4;1) (-4;-1) [tex](\frac{19}{\sqrt{11}}; \frac{14}{\sqrt{11}})[/tex] и [tex](-\frac{19}{\sqrt{11}}; -\frac{14}{\sqrt{11}})[/tex]. Благодаря предварително!

Пак заповядай!

[Гост]

???

[S.B.]

Дадена е системата [tex]\begin{array}{|l} x^2 - y^2 = 15 \\ x^2 - 5xy + 5y^2= 1\end{array}[/tex]. Отговорите са (4;1) (-4;-1) [tex](\frac{19}{\sqrt{11}}; \frac{14}{\sqrt{11}})[/tex] и [tex](-\frac{19}{\sqrt{11}}; -\frac{14}{\sqrt{11}})[/tex]. Благодаря предварително!

Очевидно е, че двойката $(0;0)$ не е решение на системата.Иснасям $y^{2}\ne0$ пред скоби:

[tex]\begin{array}{|l} x^{2} - y^{2} = 15 \\ x^{2} - 5xy + 5y^{2} = 1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}y^{2} (\displaystyle\frac{x^{2}}{y^{2}} - 1) = 15 \\\displaystyle y^{2}(\frac{x^{2}}{y^{2}} - 5\displaystyle\frac{x}{y} + 5) = 1 \end{array}[/tex]
Нека $\frac{x}{y} = t$ : замествам ,деля почленно двете уравнения и получавам:
$\frac{t^{2} - 1}{t^{2} - 5t + 5} = 15 \Leftrightarrow t^{2} - 1 = 15t^{2} - 75t + 75 \Leftrightarrow$
$ 14t^{2} - 75t + 76 = 0 , D = 1369 = 37^{2} , t_{1,2 } = \frac{75 \pm 37}{28}$
$t_{1 } = 4 , t_{2 } = \frac{19}{14}$
Връщам субституцията и получавам :$\frac{x}{y} = 4 , \frac{x}{y} = \frac{19}{14}$
Сега ,като комбинирам с едно от уравненията (естествено с по- удобното!),получавам две системи:

$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = 4\\ x^{2} - y^{2} = 15\end{array}$ $\cup$ $\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{19}{14} \\ x^{2} - y^{2} = 15 \end{array}$

1)
$\begin{array}{|l} x = 4y \\ x^{2} - y^{2} = 15\end{array} \Rightarrow (4y)^{2} - y^{2} = 15 \Leftrightarrow 15y^{2} = 15 \Rightarrow y^{2} = 1$
$y_{1,2 } = \pm 1 \Rightarrow x_{1,2 } = \pm 4$
$(4,1) , (-4,-1)$
Втората система се решава аналогично и оставям удоволствието изцяло за теб! Успех!