Окръжности

[Гост]

Две окръжности се пресичат в точките А и В, като през точката В са построени две прави. Едната пресича двете окръжности последователно в точките P и P1 а другата в точки Q и Q1. Да се докаже подобието на триъгълниците АPQ и АP1Q1?

[S.B.]

Две окръжности се пресичат в точките А и В, като през точката В са построени две прави. Едната пресича двете окръжности последователно в точките P и P1 а другата в точки Q и Q1. Да се докаже подобието на триъгълниците АPQ и АP1Q1?

Без заглавие - 2020-09-26T074925.457.png (356.11 KiB) Прегледано 472 пъти

Дадени са окръжности $k , k_{1 }$ ,като $ k \cap k_{1 } = т.A , т.B$
Права [tex]p Z B ,\begin{cases} p\cap k = P\\ p \cap k_{1 } = P_{1 }\end{cases}[/tex]
Права [tex]q Z B , \begin{cases} q\cap k = Q \\q\cap k_{1 } = Q_{1 }\end{cases}[/tex]

$\angle PBQ = \angle PAQ = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{PQ}}{2} $
$\angle P_{1 }BQ_{1 } = \angle P_{1 }AQ_{1 } = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{P_{1 }Q_{1 }}}{2}$
$\angle PBQ = \angle P_{1 }BQ_{1 }$ като връхни $\Rightarrow \angle PAQ = \angle P_{1 }AQ_{1 }$
Четириъгълникът $AQPB$ е вписан в $k \Rightarrow \angle AQP + \angle ABP = 180^\circ$
$\angle ABP + \angle ABP_{1 } = 180^\circ$ като съседни $\Rightarrow \angle AQP = \angle ABP_{1 }$
$\angle ABP_{1 } = \angle AQ_{1 }P_{1 } = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AP_{1 }}}{2} \Rightarrow \angle AQP = \angle AQ_{1 }P_{1 }$
От $\begin{cases} \angle PAQ = \angle P_{1 }AQ_{1 } \\ \angle AQP = \angle AQ_{1 }P_{1 } \end{cases} \Rightarrow \triangle AQP \approx \triangle AQ_{1 }P_{1 }$