В какво отношение

[Евва]

Даден е [tex]\triangle[/tex]АВС и точка M -лежи на отсечката АВ и точка N-лежи на отсечката ВС така ,че АМ=2ВМ и BN=CN .
В какво отношение са лицето на по-голямата към лицето на по-малката част ,на които AN разделя [tex]\triangle[/tex]МВС .

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]АВС и точка M -лежи на отсечката АВ и точка N-лежи на отсечката ВС така ,че АМ=2ВМ и BN=CN .
В какво отношение са лицето на по-голямата към лицето на по-малката част ,на които AN разделя [tex]\triangle[/tex]МВС .

Без заглавие - 2020-12-21T145733.709.png (283.48 KiB) Прегледано 495 пъти

Нека [tex]S_{\triangle ABC} = S[/tex]
От $BN = CN \rightarrow AN = m $ е медиана $ \Rightarrow S_{ \triangle ABN } = S_{\triangle ACN} = \frac{1}{2}S$
$CM \cap AN = L$
От $ AM = 2MB \rightarrow MB = \frac{1}{3} AB \Rightarrow S_{\triangle MBC} = \frac{1}{3}S$
Построявам т.$P$ такава,че $\begin{cases} P Z m \\LN = NP \end{cases}$
От $\begin{cases} LN = NP\\ BN = NC \end{cases} \rightarrow LBPC$ е успоредник $\Rightarrow PB || CL \Rightarrow PB || LM$
Според Талес:
$\frac{AL}{LP} = \frac{AM}{MB} =\frac{2}{1} \Rightarrow AL = 2.LP \Leftrightarrow AL = 4.LN \Rightarrow AN = 5.LN $
От $AN = 5.LN \Rightarrow LN = \frac{1}{5}AN \Rightarrow S_{\triangle LNC} = \frac{1}{5}S_{\triangle ANC} = \frac{1}{5}.\frac{1}{2}S = \frac{1}{10}S$
$S_{MBNL } = S_{MBC } - S_{LNC } = \frac{1}{3}S - \frac{1}{10}S = \frac{7}{30}S$
$\displaystyle\frac{S_{MBNL }}{S_{LNC }} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7}{30}S}{\displaystyle\frac{1}{10}S} =\displaystyle\frac{7}{3}$