Няколко интересни задачи

[metamorphosis]

Привет
Има няколко задачки, които ме затрудняват от доста време и реших да ви помоля за помощ и разяснение.

1. За [tex]\Delta ABC[/tex] знаем, че АВ=ВС=25см, АС=14см, а АD е височина. Да се намери радиусът на окръжността, която се допира до ВС в точка D и минава през средата на АС.

2. Окръжност с радиус R минава през върха С на равнобедрения [tex]\Delta ABC[/tex], през средата на бедрото ВС и се допира до основата АВ в точка А. Да се намери бедрото.
Отг. R [tex]\sqrt{\frac{7}{ 2}}[/tex]

3. Да се докаже, че за [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex]\frac{a}{ ha} = cotg\beta + cotg\gamma[/tex]
(ha е височината към а)

4. Даден е четириъгълник ABCD с описана около него окръжност k(О;R=4[tex]\sqrt{3}[/tex] см). [tex]\angle A = 120^\circ[/tex]. BD=?

5. Ъглополовящата на [tex]\angle D[/tex] на равнобедрения трапец ABCD пресича диагонала AC в точка L и голямата основа AB в точка М. Ако DM || BC и [tex]\frac{LC}{ LA}=\frac{1}{ 2}[/tex]
а) да се намери [tex]\angle DMC[/tex];
б) да се докаже, че триъгълник ABC е остроъгълен.
Отг. а) 30 [tex]^\circ[/tex]

Благодаря предварително.

[martin123456]

3
нека [tex]AH \bot BC[/tex]. има няколко случая:
1) [tex]\angle B && \angle C < 90^\circ[/tex]: [tex]\Rightarrow cotg\beta = \frac{HB}{HA}=\frac{HB}{h_a}, cotg\gamma = \frac{CH}{h_a} \Rightarrow cotg\beta + cotg \gamma = \frac{HB+CH}{h_a}=\frac{a}{h_a}[/tex]
2) някой от тях е тъп. например нека [tex]\angle \gamma > 90^\circ \Rightarrow cotg\beta = \frac{HB}{h_a}, cotg\gamma = - \frac{HC}{h_a} \Rightarrow cotg\beta + cotg \gamma = \frac{HB-HC}{h_a}=\frac{a}{h_a}[/tex] (тук [tex]H[/tex] e външна за отсечката [tex]CB[/tex] след [tex]C[/tex])
3) някой е прав [tex]\ldots[/tex] аналогично е

[martin123456]

4
да нямаш предвид [tex]BC[/tex]
[tex]\angle A > 90^\circ \Rightarrow O[/tex] външна за [tex]\Delta ABC \Rightarrow \angle COB=\stackrel{\frown}{CAB}=120^\circ[/tex]. в [tex]\Delta COB:\hspace{2mm} \angle BCO=30^\circ[/tex]. нека [tex]OH \bot CB \Rightarrow \Delta CHO[/tex] по питагор [tex]\Rightarrow CH=\frac{\sqrt{3}R}{2}=6 \Rightarrow CB=12[/tex]

[Hena]

4
да нямаш предвид [tex]BC[/tex]
[tex]\angle A > 90^\circ \Rightarrow O[/tex] външна за [tex]\Delta ABC \Rightarrow \angle COB=\stackrel{\frown}{CAB}=120^\circ[/tex]. в [tex]\Delta COB:\hspace{2mm} \angle BCO=30^\circ[/tex]. нека [tex]OH \bot CB \Rightarrow \Delta CHO[/tex] по питагор [tex]\Rightarrow CH=\frac{\sqrt{3}R}{2}=6 \Rightarrow CB=12[/tex]

Защо да има предвид BC?
Нека центъра на описаната окръжност е О.Знаем,че щом [tex]\angle A=120^\circ \Rightarrow \angle C=60^\circ[/tex].Тогава [tex]\angle BOD=120^\circ[/tex] и [tex]OD=OB=4\sqrt{3}[/tex].Нека [tex]OH\bot BD,H\in BD \Rightarrow DH=HB=6 \Rightarrow BD=12[/tex]

[martin123456]

5
a) ясно че [tex]L \in \overline{AC}[/tex] понеже ъглополовящата на [tex]\angle D[/tex] в [tex]\Delta ACD[/tex] пресича страната във вътрешна точка. от [tex]DM||CB \Rightarrow M \in \overline{AB}[/tex].
от [tex]\Delta DCL \sim \Delta MAL \Rightarrow DC=x, AM=2x[/tex]. от [tex]CD=MB \Rightarrow MB=x[/tex]. от [tex]AB||CD \Rightarrow \angle CDM = \angle DMA[/tex]. от [tex]\angle ADM = \angle MDC \Rightarrow \angle ADM = \angle MDC \Rightarrow AD=AM=2y[/tex].
спускаме височините [tex]DH \bot AB, CK \bot AB[/tex]. от равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow HK=CD \Rightarrow AH=\frac{AB-CD}{2}=x \Rightarrow HM=x[/tex] [tex]\Rightarrow HMCD[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow \angle DMC = \angle MDH[/tex]. разглеждаме [tex]\Delta HDM[/tex]: [tex]\sin{\angle HDM}=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle HDM=30^\circ[/tex]
b) от а) [tex]AB=3x, CB=2x[/tex]. от [tex]\Delta AHD \Rightarrow DH=\sqrt{3}x \Rightarrow AC=\sqrt{7}x[/tex] (от [tex]\Delta AMC[/tex]). от една страна лицето на [tex]\Delta ACB=\frac{AB.CM}{2}=\frac{3\sqrt{3}x^2}{2}[/tex]. ясно че [tex]2x < \sqrt{7}x < 3x[/tex], затова ако има тъп ъгъл той е [tex]\angle C[/tex]. нека [tex]AA_1 \bot CB \Rightarrow S_{ABC}=AA_1.x=\frac{3\sqrt{3}x^2}{2} \Rightarrow AA_1=\frac{3\sqrt{3}x}{2}[/tex]. да допуснем че ъгълът е тъп [tex]\Rightarrow A_1[/tex] е след [tex]C[/tex] [tex]\Rightarrow A_1C=\frac{\sqrt{13}x}{2}[/tex]. прилагаме една питагорова т-ма за [tex]\Delta AA_1B \Rightarrow \frac{27x^2}{4} + x^2(\frac{\sqrt{13}}{2}+2)^2=9x^2 \Leftrightarrow 14+2\sqrt{13}=9 \Rightarrow \empty[/tex].

[martin123456]

2
нека [tex]\angle C = \gamma \Rightarrow \angle BAC=90^\circ - \frac{\gamma}{2} \Rightarrow \stackrel{\frown}{CMA}=180^\circ - \gamma \Rightarrow \angle AOC=180^\circ - \gamma[/tex]. нека [tex]OH \bot AC \Rightarrow \angle OAH=\frac{\gamma}{2}[/tex].
от св-во на допирателната, ако означим [tex]BM=x \Rightarrow AB=\sqrt{2}x[/tex].
[tex]\Delta OHA: \cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{x}{R}[/tex]
нека [tex]CC_1 \bot AB \Rightarrow \Delta CC_1B \Rightarrow \cos{\gamma}=\frac{\sqrt{4x^2-\frac{x^2}{2}}}{2x}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x}{R}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} \Rightarrow CB=\sqrt{\frac{7}{2}}R[/tex]

[martin123456]

1
нека откръжността пресича [tex]AC[/tex] в точките [tex]M,N[/tex] като [tex]M[/tex] е среда на [tex]AC[/tex].
от св-то на допирателните: [tex]CD^2=CN.CM[/tex].
[tex]CM=7[/tex]
[tex]CD=\sqrt{AC^2-AD^2}[/tex]. [tex]AD[/tex] намираме така: [tex]2S_{ABC}=AD.BC=25AD=AM.AC=14AM[/tex]. [tex]AM[/tex] намираме по питагор [tex]AM=24 \Rightarrow AD=\frac{14.24}{25} \Rightarrow CD=\frac{14.7}{25}[/tex]
[tex]\Rightarrow CN=\frac{CD^2}{CM}=\frac{14^2}{25^2}[/tex].
[tex]\Delta ACD, \angle DAC=\alpha \Rightarrow \sin{\alpha}=\frac{7}{25}, \cos{\alpha}=\frac{24}{25}, \Rightarrow tg\alpha=\frac{7}{24}[/tex].
нека [tex]OH \bot MN \Rightarrow \frac{7}{24}=\frac{OH}{AH}=\frac{\sqrt{MO^2-MH^2}}{AM+MH}=\frac{\sqrt{R^2-MH^2}}{7+MH}[/tex]. но [tex]MN=\frac{MN}{2}=\frac{MC-NC}{2}=\frac{7-CN}{2}[/tex].
нататък е заместване и сметки