Три точки лежащи на една права

[Diana19]

Диагоналите на трапеца ABCD се пресичат в точка О. Точките M и N са средите съответно на страните AB и CD. Докажете, че точките M. N и O лежат на една права.

Проблемът е, че не знам как трябва да докажа, че даден брой токи лежат на една права.

[Добромир Глухаров]

Достатъчни са две от следните три условия:
$1)\ \angle ABD=\angle CDB$ - вътрешно кръстни.
$2)\ \angle BAC=\angle DCA$ - вътрешно кръстни.
$3)\ \angle AOB=\angle COD$ - срещулежащи.
за да заключим: $\Rightarrow\Delta ABO\sim\Delta COD$ - по първи признак.
$\Rightarrow AO:OC=AB:CD=(2AM):(2CN)=AM:CN$
$1)\ AO:OC=AM:CN$
$2)\ \angle BAO=\angle NCO$ - вътрешно кръстни
$\Rightarrow\Delta AMO\sim\Delta CNO$ - по втори признак.
$\Rightarrow\angle AOM=\angle CON=\alpha$
Следователно при завъртане на правата $AC$ около точка $O$ на ъгъл $\alpha$ тя съвпада с правата $MN$. Следователно точките $M,O,N$ лежат на една права.

[S.B.]

Диагоналите на трапеца ABCD се пресичат в точка О. Точките M и N са средите съответно на страните AB и CD. Докажете, че точките M. N и O лежат на една права.

Проблемът е, че не знам как трябва да докажа, че даден брой токи лежат на една права.

Без заглавие - 2021-02-04T142031.109.png (271.97 KiB) Прегледано 588 пъти

Още един поглед върху задачата

Нека [tex]AC \cap BD = O, N\in DC[/tex],като $N$ е среда на $CD$
Построявам права $l = ON,l \cap AB = M$

Ще докажа,че $M$ е среда на $AB$

$\triangle COD \approx \triangle AOB$ по първи признак
$\Rightarrow \frac{CD}{AB} = \frac{CO}{OA} = k$ (1)

$\triangle CON\approx \triangle AOM$ по първи признак
$\Rightarrow \frac{CN}{AM} = \frac{CO}{OA} = k$ (2)

От (1) и (2) $\rightarrow \frac{CD}{AB} = \frac{CN}{AM} = k$

$\frac{CD}{AB} = k \Leftrightarrow CD = k.AB \Leftrightarrow \frac{1}{2}CD = k.\frac{1}{2} AB$

Но $\frac{1}{2}CD = CN \Rightarrow CN = k.\frac{1}{2}AB$

От $\begin{cases} CN =k.\displaystyle \frac{1}{2}AB \\ CN = k.AM \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}AB = AM \Rightarrow M$ е среда на $AB$

От $\begin{cases} l = NO \\ l \cap AB = M\end{cases} \Rightarrow N,O$ и $M$ лежат на правата $L$
Като $N$ е среда на $CD$ , $M$ е среда на $AB$,а $O$ е прес.точка на диагоналите $AC$ и $BD$