Задача за триъгълник (закон за ъглополовящата)

[Гост]

В триъгълник АВС, АС=9см и АВ=12см. Ъгпополовящата АР и медианата СМ се пресичат в точка L. Да се намери отношението на лицето на триъгълник ABC към лицето на триъгълник AML.

[mail_dinko]

[tex]S _ {\triangle ABC} = \frac 12 AC.AB sin 2 \angle LAM[/tex]
[tex]S _ {\triangle CAM} = S _ {\triangle CAL} + S _ {\triangle LAM}[/tex]
[tex]\angle LAM = \angle LAC[/tex]
[tex]\frac 12 AC. AM sin 2 \angle LAM = \frac 12 AC. AL sin \angle LAM +\frac 12 AL. AM sin \angle LAM[/tex]
[tex]\cancel {\frac 12} AC. AM. 2. \cancel {sin \angle LAM } cos \angle LAM = \cancel {\frac 12 } AC. AL . \cancel {sin \angle LAM } +\cancel { \frac 12} AL. AM . \cancel {sin \angle LAM}[/tex]
[tex]9.6. 2. cos \angle LAM = 9. AL +6AL \Rightarrow AL = \frac {9.6.2 cos \angle LAM }{15} = \frac {36}{5} cos \angle LAM \Rightarrow {AL = \frac {36}{5} cos \angle LAM}[/tex]
[tex]S _ {\triangle ALM} = \frac 12 AL. MA . sin \angle LAM = \frac 12 . \frac {36}{5} cos \angle LAM. MA . sin \angle LAM = \frac 12 . \frac {18}{5} . MA . sin 2 \angle LAM[/tex]
[tex]\frac {S _ {\triangle ABC}}{S _ {\triangle ALM}} =\frac { \cancel {frac 12} AC.AB . \cancel {sin 2 \angle LAM}}{ \cancel {\frac 12 } . \frac {18}{5} . MA . \cancel {sin 2 \angle LAM}} = \frac {9.12.5}{18.6}=5[/tex]

[Евва]

(2 начин) [tex]\frac{ S_{ABC } }{ S_{AML } }[/tex]=?

AL е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]AMC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{CL}{ML}[/tex]=[tex]\frac{AC}{AM}[/tex] ; [tex]\frac{CL}{ML}[/tex]=[tex]\frac{9}{6}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex] т.е. CL=3x и ML=2x
[tex]\triangle[/tex]AML и [tex]\triangle[/tex]ALC имат една и съща височина спусната от т.А .
[tex]S_{AML }[/tex]=[tex]\frac{2x.h}{2}[/tex] и [tex]S_{ALC }[/tex]=[tex]\frac{3x.h}{2}[/tex]
Да означим [tex]S_{AML }[/tex] със [tex]S_{1 }[/tex] (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ALC }[/tex]=[tex]\frac{3 S_{1 } }{2}[/tex] (2)
От СМ-медиана [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AMC }[/tex]=[tex]S_{MBC }[/tex] ,тогава [tex]S_{ABC }[/tex]=2[tex]S_{AMC }[/tex]=2([tex]S_{AML }[/tex]+[tex]S_{ALC }[/tex])=2([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]\frac{3 S_{1 } }{2}[/tex])=5[tex]S_{1 }[/tex]
намерихме [tex]S_{ABC }[/tex]=5[tex]S_{1 }[/tex] (3)

От (3) и (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ S_{ABC } }{ S_{AML } }[/tex]=[tex]\frac{5 S_{1 } }{ S_{1 } }[/tex]=5