Описана и вписана окръжност в правоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник с катети 5 см и 12 см. Намерете рязстоянието между центровете на вписаната и описаната му окръжност.

[S.B.]

Даден е правоъгълен триъгълник с катети 5 см и 12 см. Намерете рязстоянието между центровете на вписаната и описаната му окръжност.

Без заглавие - 2021-04-17T221450.759.png (226.83 KiB) Прегледано 1506 пъти

Прилагаш Питагорова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]и намираш $AB = 13$см
т.$O$ е средата на [tex]AB \Rightarrow т. O[/tex] е център на описаната окръжност
т.$J$ е център на вписаната окръжност
Търсим $OJ$
От[tex]\triangle OJM \rightarrow OJ = \sqrt{ OM^{2} + JM^{2} } \Leftrightarrow OJ = \sqrt{ OM^{2} + r^{2} }[/tex]
За радиуса на вписаната окръжност знаем,че [tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow \frac{5.12}{2} = 15.r \Rightarrow r = 2[/tex]см
Точките $M,N$ и $P$ са допирните точки на вписаната окръжност със страните на триъгълника
От свойството на допирателните от външна точка към окръжност определяме:
[tex]MB = x \Rightarrow BN= x , CN = CP = 5 - x , AM = AP = 13 - x[/tex]
За катета $AC$ получаваме:
[tex]AC = AP + PC \Leftrightarrow 12 = 13 - x + 5 - x \Leftrightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3[/tex]
[tex]AM = 13 - x = 13 - 3 = 10 , AO = \frac{AB}{2} = 6,5[/tex]
[tex]OM = 10 - 6,5 \Rightarrow OM = 3,5[/tex]
Прилагам Питагор за [tex]\triangle OMJ \rightarrow OJ = \sqrt{ OM^{2} + r^{2} } \Leftrightarrow OJ = \sqrt{ (3,5)^{2} + 2^{2} } = \sqrt{16,25}[/tex]
[tex]OJ = \sqrt{16,25} = \sqrt{ \frac{1625}{100} } = \sqrt{ \frac{ 5^{2}.65 }{ 10^{2} } } = \frac{5 \sqrt{65} }{10}[/tex]
$$OJ = \frac{ \sqrt{65} }{2} $$

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник с катети 5 см и 12 см. Намерете рязстоянието между центровете на вписаната и описаната му окръжност.

Без заглавие - 2021-04-17T221450.759.png

Прилагаш Питагорова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]и намираш $AB = 13$см
т.$O$ е средата на [tex]AB \Rightarrow т. O[/tex] е център на описаната окръжност
т.$J$ е център на вписаната окръжност
Търсим $OJ$
От[tex]\triangle OJM \rightarrow OJ = \sqrt{ OM^{2} + JM^{2} } \Leftrightarrow OJ = \sqrt{ OM^{2} + r^{2} }[/tex]
За радиуса на вписаната окръжност знаем,че [tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow \frac{5.12}{2} = 15.r \Rightarrow r = 2[/tex]см
Точките $M,N$ и $P$ са допирните точки на вписаната окръжност със страните на триъгълника
От свойството на допирателните от външна точка към окръжност определяме:
[tex]MB = x \Rightarrow BN= x , CN = CP = 5 - x , AM = AP = 13 - x[/tex]
За катета $AC$ получаваме:
[tex]AC = AP + PC \Leftrightarrow 12 = 13 - x + 5 - x \Leftrightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3[/tex]
[tex]AM = 13 - x = 13 - 3 = 10 , AO = \frac{AB}{2} = 6,5[/tex]
[tex]OM = 10 - 6,5 \Rightarrow OM = 3,5[/tex]
Прилагам Питагор за [tex]\triangle OMJ \rightarrow OJ = \sqrt{ OM^{2} + r^{2} } \Leftrightarrow OJ = \sqrt{ (3,5)^{2} + 2^{2} } = \sqrt{16,25}[/tex]
[tex]OJ = \sqrt{16,25} = \sqrt{ \frac{1625}{100} } = \sqrt{ \frac{ 5^{2}.65 }{ 10^{2} } } = \frac{5 \sqrt{65} }{10}[/tex]
$$OJ = \frac{ \sqrt{65} }{2} $$

Много ви благодаря!