Квадратни уравнения с променлива

[prodanov]

Така, ето задачата, лесна е, но не я разбирам.

Условие:

Намерете стойностите на реалния параметър а, за които числото 1 е корен на квадратното уравнение

[tex]x^2 - ax + 2 = 0[/tex]

Моето решение:
[tex]2 = a \pm sqrt{a^2-8}[/tex]

Въпрос: С разгадаване(-2,-1,0,1,2,3...) ли трябва да си играя за да разбера, че а = 3?

[Martin Nikovski]

Не, просто заместваш [tex]x[/tex] с [tex]1[/tex]. Няма нужда да намираш дискриминантата и корените на уравнението.
[tex]x^2-ax+2=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]1^2-a.1+2=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]1-a+2=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a=3[/tex]
П.П. (това ще е дълъг послепис )
Ако го смяташ с дискриминанта, получаваш:
[tex]D=a^2-4.2=a^2-8[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{a\pm \sqrt{a^2-8}}{2 }[/tex]
Заместваш [tex]x[/tex] с [tex]1[/tex] и получаваш: [tex]1=\frac{a\pm \sqrt{a^2-8}}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2=a\pm \sqrt{a^2-8}[/tex], докъдето си и стигнал.
Оттук вдигаш на втора степен: [tex]2^2=(a\pm \sqrt{a^2-8})^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4=a^2\pm 2a\sqrt{a^2-8}+a^2-8[/tex]
[tex]4=2a^2\pm 2a\sqrt{a^2-8}-8/:2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2=a^2\pm a\sqrt{a^2-8}-4[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\pm a\sqrt{a^2-8}=6-a^2[/tex]
Отново вдигаш на втора степен: [tex](\pm a\sqrt{a^2-8})^2=(6-a^2)^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2(a^2-8)=36-12a^2+a^4[/tex]
[tex]\cancel{a^4}-8a^2=36-12a^2+\cancel{a^4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4a^2=36[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2=9[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a=\pm 3[/tex]
Тъй като два пъти вдигнахме на втора степен, без да сме сигурни, че и двете страни на уравнението са неорицателни, то не можем да твърдим, че корените на полученото ("крайното") уравнение са корени и на първоначалното уравнение. Ето защо правим ЗАДЪЛЖИТЕЛНА проверка:
При [tex]a=3[/tex]:
[tex]x_1=\frac{3+ \sqrt{3^2-8}}{2 }=\frac{3+ \sqrt{1}}{2 }=\frac{3+ 1}{2 }=\frac{\cancel4}{\cancel2 } =2[/tex]
[tex]x_2=\frac{3- \sqrt{3^2-8}}{2 }=\frac{3- \sqrt{1}}{2 }=\frac{3 -1}{2 }=\frac{\cancel2}{\cancel2 } =1[/tex], откъдето следва, че [tex]a=3[/tex] е решение на задачата.
При [tex]a=-3[/tex]:
[tex]x_1=\frac{-3+ \sqrt{(-3)^2-8}}{2 }=\frac{-3+ \sqrt{1}}{2 }=\frac{-3+ 1}{2 }=\frac{-\cancel2}{\cancel2 } =-1[/tex]
[tex]x_2=\frac{-3- \sqrt{(-3)^2-8}}{2 }=\frac{-3- \sqrt{1}}{2 }=\frac{-3 -1}{2 }=\frac{-\cancel4}{\cancel2 } =-2[/tex], откъдето следва, че [tex]a=-3[/tex] не е решение на задачата.
П.П.(2) Както виждаш, този начин МНОГО ПО-ДЪЛЪГ, затова използвай първия.

[prodanov]

Мерси!

Kак става по първия начин ако има квадрат?

Ето друга подточка:
[tex]a^2x^2+(a+1)x-3=0[/tex]

стигам до тук
[tex]a^2 + a = a(a + 1) = 2[/tex]

[ganka simeonova]

Мерси!

Kак става по първия начин ако има квадрат?

Ето друга подточка:
[tex]a^2x^2+(a+1)x-3=0[/tex]

стигам до тук
[tex]a^2 + a = a(a + 1) = 2[/tex]

[tex]a^2+a-2=0=>a_1=-2; a_2=1[/tex]

[Martin Nikovski]

За тази подточка същото ли е условието ([tex]x=1[/tex])?
Ако е така, отново заместваш [tex]x[/tex] с [tex]1[/tex]...
[tex]a^2x^2+(a+1)x-3=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2.1^2+(a+1).1-3=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2+a+1-3=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2+a-2=0[/tex] (което всъщност си получил, само прехвърли 2-ката вляво).
Оттук намираме дискриминантата на [tex]a^2+a-2=0[/tex]:
[tex]D=1^2-4.(-2)=1+8=9[/tex]
[tex]a_1=\frac{-1+\sqrt9}{2 } =\frac{-1+3}{2 } =\frac{\cancel2}{\cancel 2} =1[/tex]
[tex]a_2=\frac{-1-\sqrt9}{2 } =\frac{-1-3}{2 } =\frac{-\cancel4}{\cancel 2} =-2[/tex]