Меню
Задача 10: Решете параметричните уравнения (а е реален параметър).
[tex]\frac{x^2 + a}{x^2} + \frac{x^2}{x^2-a} = 2[/tex]
[tex]D: x\ne \pm \sqrt{a} ; x\ne 0[/tex]
[tex]\frac{\cancel {x^4} - a^2 + \cancel {x^4} - \cancel{2x^4} + 2x^2a}{x^2(x^2-a)} = 0[/tex]
[tex]\frac{-a^2+2x^2a}{x^2(x^2-a)} = 0[/tex]
[tex]\frac{-a(a+2x^2)}{x^2(x^2-a)} = 0[/tex]
След като резултатът е 0, приемаме ,че числителя = 0, а знаменателя !=0.
[tex]-a(a+2x^2) = 0[/tex]
Аналогично [tex]a_1=0[/tex] и [tex]a_2= -2x^2[/tex].
Първия случай върви със всяко х, но втория [tex]x = \pm sqrt{\frac{a}{2}}[/tex]
Е, да, ама не. В учебника пише:
при [tex]a=0[/tex]: всяко [tex]x\ne0[/tex], при [tex]a\g 0[/tex]: [tex]x = \pm sqrt{\frac{a}{2}}[/tex] ; при [tex]\red{a < 0}[/tex]: няма решение
Как го получават?
Така, а сега това, което не разбирам. Ето същата задача, ама друга подточка (по-важна е за мен да разбера как става!).
[tex]x^4-x^2-a^2+3a-2=0[/tex]
полагаме [tex]y=x^2[/tex]
[tex]y^2-y-(a^2-3a+2)=0[/tex]
[tex]D=1 + 4(a^2-3a+2)[/tex]
[tex]D=1 + 4a^2 - 12a + 8[/tex]
[tex]D = 4a^2 - 12a + 9[/tex]
/*пауза за малко*/
Какво правите в подобни случаи? Под "подобни" имам в предвид получаване на "чисто"(такова без параметри) квадратно уравнение от дискриминантата на параметрично такова?
Ето моя план: Намирам диксриминанта на уравнението от там, където спрях, и чрез нея изчислявам при какво [tex]a[/tex] има решение, при какво има един корен, и при какво два. След като разбера кога няма решение, продължавам напред.
И така мисля да направя
/**/
Приемаме ,че уравнението долу(от диксриминантата на параметричното) е равно на 0.
[tex]4a^2 - 12a + 9 = 0[/tex]
[tex]D= 144 - 144 = 0[/tex]
=>[tex]a[/tex] има само 1 корен.
[tex]a=\frac{12}{8} = \frac{3}{2}[/tex]
Сега малко талибански методи използвам, ма какво да правя.
[tex]4a^2 - 12a + 9 = 0[/tex] Единствено при [tex]a=\frac{3}{2}[/tex]
Сега разбирам, при какво [tex]a[/tex] няма решение. [Замествам [tex]a[/tex] с 1([tex]1 < \frac{3}{2}[/tex])]
[tex]D = 4a^2 - 12a + 9 = 0[/tex]
[tex]D = 4.1^2 - 12.1 + 9 = 4 - 12 + 9 = 1[/tex] ,така разбирам ,че всяко число под [tex]\frac{3}{2}[/tex] е валидно, до като всяко над [tex]\frac{3}{2}[/tex] получава D < 0 => няма решение.
/*
Е сега вече не знам какво да правя.
Долу съм направил нещо, ма колко вярно...
*/
Връщам се на първата дискриминанта.
При а= [tex]\frac{3}{2}[/tex]
[tex]D = 4a^2 - 12a + 9 = 0[/tex]
[tex]y = \frac{1}{2}[/tex]
от където [tex]x = \pm\frac{sqrt2}{2}[/tex]
При [tex]a < \frac{3}{2}[/tex] [tex]D > 0[/tex].
[tex]D=4a^2 - 12a + 9[/tex]
[tex]y_1,y_2 = \frac{1 \pm \sqrt{4a^2 - 12a + 9}}{2}[/tex]
[tex]x_1,x_2 = \pm sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{4a^2 - 12a + 9}}{2}}[/tex]
Окончателно:
при [tex]a > \frac{3}{2}[/tex]: няма решение
при [tex]a = \frac{3}{2}[/tex]: [tex]x = \pm\frac{sqrt2}{2}[/tex]
при [tex]a < \frac{3}{2}[/tex]: [tex]x_1,x_2 = \pm sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{4a^2 - 12a + 9}}{2}}[/tex]
Ядец, ето отговора в учебника:
[tex]a<1: x_1, x_2 = \pm \sqrt{2-a}[/tex], [tex]a=1[/tex], [tex]a=2[/tex]: [tex]x_1=0[/tex], [tex]x_2,x_3=\pm1[/tex],[tex]1<a<2: x_1[/tex], [tex]x_2=\pm\sqrt{a-1}[/tex], [tex]x_3, x_4=\pm\sqrt{2-a}[/tex]
Ясно е ,че втората ми е тотално грешна, но нека приемем ,че е вярно. Ако условието беше същото, то аз правилно ли съм постъпил след първата Дискриминанта? Методите, които използвам за проверка и тн?
Сега няколко въпросчета, ако може:
1) Къде бъркам в задачите?
2) Каква е вашата алтернатива на моят "талибански" метод за проверяване кога има решение, кога няма?
Мерси предварително!
