Моделиране със системи уравнения от втора степен с две неиз

[Гост]

1 задача: Сборът от лицата на квадратите, построени върху две съседни страни на правоъгълник, е 116 m^2, а сборът от периметрите на тези квадрати е 56 m. Намерете лицето на правоъгълника.

2 задача: Лодкар гребе срещу течението на река
16 km и се връща на пристанището след
3 h и 20 min. Намерете скоростта на лодката в спокойна вода и времето на пътуване по течението, ако скоростта на течението е 2 km/h.

[ammornil]

1 задача: Сборът от лицата на квадратите, построени върху две съседни страни на правоъгълник, е 116 m^2, а сборът от периметрите на тези квадрати е 56 m. Намерете лицето на правоъгълника.

От формули за съкратено умножение знаем че: [tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \Rightarrow 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2) \Rightarrow a.b=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}[/tex]

От даденото знаем:
[tex]\begin{array}{|l} a^2 + b^2 = 116 \\ 4a +4b = 56 \ |:4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a^2 + b^2 = 116 \\ a +b = 14 \end{array}[/tex]

Следователо лицето на дадения правоъгълник е изчисломо по следния начин:
[tex]S_{_{пр}}=a.b=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{14^2-116}{2}=\frac{196-116}{2}=\frac{80}{2}=40 cm^2[/tex]

[tex][/tex]

[ammornil]

2 задача: Лодкар гребе срещу течението на река 16 km и се връща на пристанището след 3 h и 20 min. Намерете скоростта на лодката в спокойна вода и времето на пътуване по течението, ако скоростта на течението е 2 km/h.

Нека скоростта на лодката в спокойна вода да е [tex]x\ km/h, (ДМ: x>0)[/tex]. Пътят изминат срещу течението е равен на пътя изминат по течението и е 16км. Скоростта на движение срещу течението е [tex](x-2)\ km/h[/tex]. Скоростта на движение по течението е [tex](x+2)\ km/h[/tex]. Тогава сумата от времената на движение по и срещу теченето е даденото общо време.

[tex]\frac{16}{x-2}+\frac{16}{x+2}=3\frac{20}{60} \Leftrightarrow \frac{16}{x-2}+\frac{16}{x+2}=3\frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{16}{x-2}+\frac{16}{x+2}=\frac{10}{3} \Leftrightarrow 3.16.(x+2)+3.16.(x-2)=10.(x-2).(x+2) \Leftrightarrow 48x+96+48x-96=10x^2-40[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 10x^2-96x-40=0 \ |:2 \Leftrightarrow 5x^2-48x-20=0[/tex]

[tex]D=24^2-5.(-20)=576+100=676=26^2, \ \ \ \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{24 \pm 26}{5} \ \ \ \begin{cases} x_{_{1}}=-\frac{2}{5} \notin ДМ \\ x_{_{2}}=10 \in ДМ \end{cases}[/tex]

Получихме, че скоростта на лодката в спокойна вода е 10 km/h.
Времето за движение по течението е : [tex]t_{_{2}}=\frac{16}{10+2}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3} h[/tex]. [tex]\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}.60=20 min[/tex]
Времето за движение по течението е 1h 20 min.

п.с. По-горе за дискриминантата и решенията на квадратното уравнение са използвани съкратените формули за намиране.


[tex][/tex]