Вписана окръжност в триъгълни окръжност разделя височината

[Гост]

Даден е равнобедрен триъгълник с основа 12 см.Центърът на вписаната в триъгълника окръжност разделя височината към основата в съотношение 3:2. Намерете лицето на триъгълника.

[S.B.]

Даден е равнобедрен триъгълник с основа 12 см.Центърът на вписаната в триъгълника окръжност разделя височината към основата в съотношение 3:2. Намерете лицето на триъгълника.

Без заглавие - 2021-05-31T140016.706.png (203.91 KiB) Прегледано 559 пъти

[tex]CO : OH = 3: 2 \Rightarrow CO = 3x , OH = 2x ,r = OH , OT \bot BC , OT = OH = r[/tex]
(Ако се приеме,че $ CO = 2x , OH = 3x $,тогава за [tex]\triangle OTH[/tex] хипотенузата ще е по-малка от катета)
За [tex]\triangle OHT[/tex] по Питагорова теорема [tex]\rightarrow CT = x \sqrt{5}[/tex]
От свойството на допирателните от външна точка [tex]\Rightarrow HB = BT = 6[/tex]
[tex]\triangle OCT \approx \triangle BCH \Rightarrow \frac{CT}{CH} = \frac{OT}{BH} \Leftrightarrow \frac{x \sqrt{5} }{5x} = \frac{2x}{6} \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{ \sqrt{5} }{5} \Rightarrow x = \frac{3 \sqrt{5} }{5}[/tex]
[tex]BC = x \sqrt{5} + 6 = \frac{3 \sqrt{5} }{5}. \sqrt{5} + 6 = 9 , r = 2x = \frac{6 \sqrt{5} }{5}[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r = (9 +6).6 \frac{ \sqrt{5} }{5} = ......[/tex]