Виет 2

[prodanov]

Тоя път отговора не е грешен. Задачата е от матура.

Да се намерят стойностите на пар. а , за които корените [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] на у-то

[tex]x^2-ax+8-a=0[/tex]

са реални положителни и [tex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}[/tex] > 16


Решение:

[tex]x_1 + x_2 = a[/tex]
[tex]x_1 . x_2 = 8-a[/tex]

=> а < 8.

[tex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} > 16[/tex]

[tex]\frac{x_1^2 + x_1^2}{x_2*x_1} > 16[/tex]

[tex]\frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2}{x_2*x_1} > 16[/tex]

[tex]\frac{a^2 - 16 + 2a}{8 - a} > 16[/tex]

Натам какво се прави?

0 реално положително число ли е?

[Mark]

[tex]\frac{a^2+2a-16}{8-a}>16[/tex]
[tex]\frac{a^2+18a-144}{8-a}>0[/tex]
[tex]a^2+18a-144>0[/tex] и [tex]a<8[/tex]
[tex]a^2+18a-144<0[/tex] и [tex]a>8[/tex]
Решаваш двете неравенства..

[prodanov]

[tex]\frac{a^2+2a-16}{8-a}>16[/tex]
[tex]\frac{a^2+18a-144}{8-a}>0[/tex]
[tex]a^2+18a-144>0[/tex] и [tex]a<8[/tex]
[tex]a^2+18a-144<0[/tex] и [tex]a>8[/tex]
Решаваш двете неравенства..

Мерси, получих го.

Въпрос: защо и двете неравенства? От това, че а е положително и а < 8 ,не трябва да решим само първото?

[martosss]

0 си е 0, тя е цяло, но не и положително число, ако искаха и тя да се включва в отговора щяха да кажат неотрицателни.
За да решиш задачата ти трбяват няколко условия:
[tex]\begin{tabular}{|1}D\ge 0 - \cyr{ realni koreni}\\x_1x_2>0 - \cyr{ koreni s ednak\cdprimev znak}\\x_1+x_2>0 - \cyr{polozhitelni koreni}\\\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}>16\end{tabular}[/tex]
Решаваш системата и си готов.
от 2 и 3 имаш 0<a<8, от дискриминантата a?+4a-8?0 => (a+2)?-12?0 => (a+2-?12)(a+2+?12)?0 => a е в интервала (-oo; -2-?12) и (-2+?12; +oo), като засечеш с 0<a<8 става, че а е в интервала (-2+?12;8), тоест а е положително.
Сега решаваш и последното неравенство, което ти е (a+9)?-225>0 => (a+24)(a-6)>0 => а<-24 или a>6
Окончателно а е в интервала (6;8).