Доказване на формули за трапец

[Гост]

Добър ден. Опитах се да реша 2 задачи за доказване на формули за равнобедрен и правоъгълен трапец, но за мен това е трудно и никога не съм решавал подобни задачи. Оценявам каквато и да е помощ!

1 зад. Около окръжност е описан равнобедрен трапец. Ако a и b са основите му, а r е радиусът на вписаната в него окръжност, докажете, че a*b=4*r^2

2 зад. В правоъгълен трапец с основи a и b е вписана окръжност. Докажете, че радиусът ѝ r и лицето на трапеца S се намират по формулите:
r=(a*b)/(a+b)
и
S=a*b



Благодаря Ви предварително за помощта!

[Nathi123]

1.зад. ABCD; AB|| CD;AB=a;CD=b; AD=BC;k(O,r) - вписана в трапеца ABCD;k[tex]\cap AB=M \Rightarrow AM=BM= \frac{a}{2};k \cap CD=N[/tex]
[tex]\Rightarrow CN=DN= \frac{b}{2}[/tex].OC-ъглополовяща на [tex]\angle DCB[/tex]; OB-ъглополовяща на [tex]\angle ABC \Rightarrow \angle COB= \frac{1}{2}( \angle ABC + \angle BCD ) =90 ^\circ[/tex].
k[tex]\cap BC =P \Rightarrow OP \bot BC;CP=CN= \frac{b}{2}[/tex] (допирателни от тС към к; OP=r ;аналогично BP=BM=[tex]\frac{a}{2}[/tex].
[tex]\triangle BOC \Rightarrow OP ^{2} =CP.BP=CN.BM \Leftrightarrow r ^{2} = \frac{a}{2}. \frac{b}{2} \Leftrightarrow 4r ^{2} =a.b[/tex].
2.зад. ABCD; AB|| CD;AB=a;CD=b;[tex]\angle ADC= \angle DAB=90 ^\circ;k(O,r)[/tex]-вписана в трапеца; k[tex]\cap AB=M \Rightarrow OM \bot AB;OM=r[/tex];
k[tex]\cap AD=L \Rightarrow OL \bot AD \Rightarrow ALOM-[/tex]квадрат; [tex]\Rightarrow AL=AM=r \Rightarrow BM=a-r[/tex] Aналогично CN=b-r.k[tex]\cap BC=P[/tex]
Както в зад1. [tex]\angle COB=90 ^\circ[/tex] и OP[tex]^{2}=CP.BP=CN.BM[/tex] ( N = k[tex]\cap CD[/tex]).
[tex]\Rightarrow r ^{2}=( a-r)(b-r) \Leftrightarrow r ^{2}=ab-ar-br+r ^{2} \Leftrightarrow ab=(a+b).r \Leftrightarrow r = \frac{ab}{a+b}[/tex].(1)
S[tex]_{ABCD }= \frac{a+b}{2}.2r=(a+b).r[/tex] ( AD=2r;AD[tex]\bot AB[/tex]).Изразяваме r от (1) и получаваме,че S=a.b .

[Евва]

1 зад. (2 начин)
ABCD -равнобедрен трапец ( AB||CD )
ABCD е описан [tex]\Rightarrow[/tex] AD+BC=AB+CD т.е. 2AD=a+b ; AD =[tex]\frac{a+b}{2}[/tex]

Построяваме височината DH в трапеца , тогава [tex]\triangle[/tex]AHD е правоъгълен .
[tex]AH^{2}[/tex]+[tex]DH^{2}[/tex]=[tex]AD^{2}[/tex] ;([tex]\frac{a-b}{2}) ^{2}[/tex]+([tex]2r)^{2}[/tex]=([tex]\frac{a+b}{2} )^{2}[/tex]

[tex]\frac{ a^{2}-2ab+ b^{2} }{4}[/tex]+[tex]\frac{4 r^{2} }{1 }[/tex]=[tex]\frac{ a^{2}+2ab +b^{2} }{4}[/tex]

[tex]a^{2}[/tex]-2ab+[tex]b^{2}[/tex]+16[tex]r^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]+2ab+[tex]b^{2}[/tex]

-4ab= -16[tex]r^{2}[/tex]

ab=4[tex]r^{2}[/tex]