Системи 2

[prodanov]

Тоя път я е решавам, но не получавам всички отговори.

[tex]\begin{tabular}{|1}
x^3 - y^3 = 8(x-y)\\
x^2 + y^2 = 8
\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|1}
(x-y)(x^2+xy+y^2)=8(x-y)\\
x^2 + y^2 = 8
\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|1}
\frac{\cancel{(x-y)}(x^2+xy+y^2)}{\cancel {x-y}}=8\\
x^2 + y^2 = 8
\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|1}
\cancel{x^2}+xy+\cancel{y^2}= \cancel{x^2} + \cancel{y^2}\\
x^2 + y^2 = 8
\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|1}
xy=0\\
x^2 + y^2 = 8
\end{tabular}[/tex]

Първи случай [tex]x=0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|1}
x=0\\
y^2 = 8 <=> y=\pm2sqrt2
\end{tabular}[/tex]

Втори случай [tex]y=0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|1}
y=0\\
x^2 = 8 <=> x=\pm2sqrt2
\end{tabular}[/tex]

Следователно решенията на системата са:
[tex](0, \pm2sqrt2)[/tex] и [tex](\pm2sqrt2, 0)[/tex]

Е, да , ама не. В учебника пишe:
[tex](0, \pm2sqrt2)[/tex], [tex](\pm2sqrt2, 0)[/tex], [tex](2,2)[/tex] и [tex](-2,-2)[/tex]

Как последните две са изпълними, ако [tex]xy = 0[/tex]?
Как въобще се стига до там?

Задачата е с повишена трудност в профилиран учебник 9ти клас анубис, а честно казано, както му бях насабрал от вчера на този урок, я е реших точно за 1 минута. Може би начина ми на решение е тарикатски и има друг за да се стигне до тези отговори?

[Martin Nikovski]

Грешката ти е в това че разделяш двете страни на първото уравнение на [tex]x-y[/tex]. А откъде си сигурен, че този израз не е равен на [tex]0[/tex], знаем, че на [tex]0[/tex] не се дели. Извод: не можем да делим на израз, който съдържа променлива, освен ако не знаем СЪС СИГУРНОСТ, че той не е [tex]0[/tex] (например израза [tex]x^2+1[/tex] e "позволен", защото е винаги положителен).
[tex]\begin{tabular}{|l}x^3-y^3=8(x-y)\\x^2+y^2=8 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}(x-y)(x^2+xy+y^2)-8(x-y)=0\\x^2+y^2=8 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}(x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0\\x^2+y^2=8 \end{tabular}[/tex]
Разглеждаме два "случая":

1. [tex]x-y=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=y[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}x=y\\x^2+y^2=8 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^2+x^2=8[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2x^2=8[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^2=4[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1,2}=\pm 2[/tex]
[tex]y=x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y_{1,2}=x_{1,2}=\pm 2[/tex]

2. [tex]x^2+xy+y^2-8=0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}x^2+xy+y^2-8=0\\x^2+y^2=8 \end{tabular}[/tex]
След почленно изваждане: [tex]\begin{tabular}{|l}\cancel{x^2}+xy+\cancel{y^2}-\cancel8-\cancel{x^2}-\cancel{y^2}=0-\cancel8\\x^2+y^2=8 \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}xy=0\\x^2+y^2=8 \end{tabular}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \[/tex]2.1. [tex]x=0[/tex]
[tex]x^2+y^2=8[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y^2=8-x^2=8-0^2=8-0=8[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt2[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \[/tex]2.2. [tex]y=0[/tex]
[tex]x^2+y^2=8[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^2=8-y^2=8-0^2=8-0=8[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt2[/tex]

Следователно решенията са: [tex](2;2)[/tex], [tex](-2;-2)[/tex], [tex](0;\pm 2\sqrt2 )[/tex], [tex](\pm 2\sqrt2;0)[/tex].
П.П. Решението ти наистина е тарикатско.

[prodanov]

Мерси, това обяснява много неща.