Хомогенна система

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } - 3xy + 2 y^{2 } = 0 \\ x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \end{array}[/tex]

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } - 3xy + 2 y^{2 } = 0 \\ x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \end{array}[/tex]

Очевидно е,че една двойка от решенията е $( 0 ; 0)$

Нека [tex]x \ne 0 , y \ne 0[/tex].Деля първото уравнение на [tex]y \ne 0[/tex] и получавам:
[tex]\frac{ x^{2 } }{ y^{2 } } - 3 \frac{x}{y} + 2 = 0 \Leftrightarrow ( \frac{x}{y}) ^{2 } - 3 \frac{x}{y} + 2 = 0[/tex]
Нека [tex]\frac{x}{y} = t \Rightarrow ( \frac{x}{y}) ^{2 } = t^{2 }[/tex].Замествам и получавам:
[tex]t^{2 } - 3t + 2 = 0 , t_{1 } = 1, t_{2 } = 2 \Leftrightarrow \frac{x}{y} = 2 , \frac{x}{y} = 1[/tex]

Образувам две системи:

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = 2 \\ x^{2 }+ y^{2 } - 4y = 0 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = 1\\ x^{2 }+ y^{2 } - 4y = 0 \end{array}[/tex]

1) [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = 2 \\ x^{2 } + y^{2 }- 4y = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x =2y \\ x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \end{array} \Rightarrow 5 y^{2 } - 4y = 0 \Leftrightarrow y(5y - 4) = 0 , y \ne 0 \Rightarrow y = \displaystyle\frac{4}{5}, x = \displaystyle \frac{8}{5}[/tex]

2[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = 1 \\ x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = y \\ x^{2 }+ y^{2 } - 4y = 0 \end{array} \Leftrightarrow 2 y^{2 } -4y = 0 \Leftrightarrow y(2y - 4) = 0 , y\ne 0 \Rightarrow y = 2 , x = 2[/tex]

Решенията са :$$(0;0) , (\frac{8}{5}, \frac{4}{5}), (2;2) $$

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } - 3xy + 2 y^{2 } = 0 \\ x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \end{array}[/tex]

Очевидно е,че една двойка от решенията е $( 0 ; 0)$

Нека [tex]x \ne 0 , y \ne 0[/tex].Деля първото уравнение на [tex]y \ne 0[/tex] и получавам:
[tex]\frac{ x^{2 } }{ y^{2 } } - 3 \frac{x}{y} + 2 = 0 \Leftrightarrow ( \frac{x}{y}) ^{2 } - 3 \frac{x}{y} + 2 = 0[/tex]
Нека [tex]\frac{x}{y} = t \Rightarrow ( \frac{x}{y}) ^{2 } = t^{2 }[/tex].Замествам и получавам:
[tex]t^{2 } - 3t + 2 = 0 , t_{1 } = 1, t_{2 } = 2 \Leftrightarrow \frac{x}{y} = 2 , \frac{x}{y} = 1[/tex]

Образувам две системи:

[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = 2 \\ x^{2 }+ y^{2 } - 4y = 0 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = 1\\ x^{2 }+ y^{2 } - 4y = 0 \end{array}[/tex]

1) [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = 2 \\ x^{2 } + y^{2 }- 4y = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x =2y \\ x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \end{array} \Rightarrow 5 y^{2 } - 4y = 0 \Leftrightarrow y(5y - 4) = 0 , y \ne 0 \Rightarrow y = \displaystyle\frac{4}{5}, x = \displaystyle \frac{8}{5}[/tex]

2[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{x}{y} = 1 \\ x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = y \\ x^{2 }+ y^{2 } - 4y = 0 \end{array} \Leftrightarrow 2 y^{2 } -4y = 0 \Leftrightarrow y(2y - 4) = 0 , y\ne 0 \Rightarrow y = 2 , x = 2[/tex]

Решенията са :$$(0;0) , (\frac{8}{5}, \frac{4}{5}), (2;2) $$

Много благодаря Само искам да попитам как се разбира, че (0;0) са решения на уравнението?

[S.B.]

Много благодаря Само искам да попитам как се разбира, че (0;0) са решения на уравнението?

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } - 3xy + 2 y^{2 } = 0 \\ x^{2 } + y^{2 }- 4 y = 0 \end{array}[/tex]

След непосредствена проверка:
Нека $x = 0$
Замествам в първото уравнение:
[tex]x^{2 } -3xy + 2 y ^{2 } = 0 \Leftrightarrow 0^{2 } - 3.0.y + 2 y^{2 } = 0 \Leftrightarrow 0 - 0 + 2 y^{2 } = 0 \Leftrightarrow 2 y^{2 } = 0 \Rightarrow y = 0[/tex]
Получава се,че ако [tex]x = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow (0;0)[/tex] удовлетворява първото уравнение.
Замествам $x = 0,y = 0 $ във второто уравнение:
[tex]x^{2 } + y^{2 } - 4y = 0 \Leftrightarrow 0 + 0 - 4.0 =0[/tex]
Следователно $(0;0)$ и второто уравнение [tex]\Rightarrow (0;0)[/tex] е решение на системата