Система

[Гост]

.

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + 2xy + 3 y^{2 } = 6 \\ 2 x^{2 } - xy + y^{2 } = 2 \end{array}[/tex]
Нито едно от уравненията не е хомогенно.Очевидно и двойката $(0;0)$ не е корен на системата.
Нека [tex]y \ne 0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} y^{2 }( (\displaystyle\frac{x}{y}) ^{2 } + 2 \displaystyle\frac{x}{y} + 3) = 6 \\ y^{2 }(2 (\displaystyle \frac{ x^{2 } }{ y^{2 } }) ^{2 } - \displaystyle \frac{x}{y} + 1) = 2 \end{array}[/tex]

Полагам [tex]\frac{x}{y} = t[/tex] и деля почленно двете уравнения:

[tex]\frac{ y^{2 }( t^{2 } + 2t + 3)}{ y^{2 }(2 t^{2 } - t + 1) } = \frac{6}{2} \Leftrightarrow \frac{ t^{2 } + 2t + 3 }{2 t^{2 } - t + 1 } = 3 \Leftrightarrow t^{2 } + 2t + 3 = 6 t^{2 } - 3t + 3 \Leftrightarrow 5 t^{2 } - 5t = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]t(t - 1) = 0 \Rightarrow t_{1 } = 0 , t_{2 } = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{y} = 0 , \frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = 0 , x = y[/tex]

Образувам 2 системи еквивалентни на дадената:

[tex]\begin{array}{|l} x = 0 \\ 2x^{2 } - xy + y^{2 } = 2 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x = y \\ 2x^{2 } - xy + y^{2 } = 2\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x = 0\\ 2.0 - 0 + y^{2 } = 2 \end{array} \Leftrightarrow (y + \sqrt{2})(y - \sqrt{2}) = 0 \Rightarrow y_{1,2 } = \pm \sqrt{2}[/tex]
Решенията са:$$(0 ; - \sqrt{2}) , (0 ; \sqrt{2}) $$
[tex]\begin{array}{|l} x = y \\ 2 x^{2 } - xy + y^{2 } = 2 \end{array} \Leftrightarrow 2 x^{2 } - x^{2 } + x^{2 } = 2 \Leftrightarrow(x + 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x_{3,4 } = \pm 1[/tex]
Решенията са:$$(-1;-1) , (1;1)$$