4 задачи от подобност

[Гост]

877722E0-1CA4-4A67-BBFA-BE80D33C6D85.jpeg (228.83 KiB) Прегледано 439 пъти

[ammornil]

(33) [tex]ABCD,\ AB\|CD,\ AC \cap BD=O,\ M \in AD,\ N \in BC, O \in MN,\ MN\|AB[/tex]
[tex]AB=a,\ CD=b[/tex]
[tex]MN=?[/tex]

220212_001.png (23.64 KiB) Прегледано 431 пъти

[tex]OP \bot AB,\ P\in AB, \ OQ \bot CD,\ Q \in CD[/tex]
[tex]\because AB\|CD \Rightarrow O, P, Q[/tex] лежат на една права [tex]\Rightarrow PQ[/tex] е височина в трапеца [tex]ABCD[/tex]
[tex]\triangle AOB \sim \triangle COD[/tex] (по три ъгъла) [tex]\Rightarrow \frac{OP}{OQ}=\frac{a}{b} \Rightarrow OP=\frac{a}{b}OQ[/tex]

[tex]PQ=OP+OQ=\frac{a}{b}OQ+OQ=\frac{a+b}{b}OQ[/tex]

[tex]CC_{2} \bot AB,\ C_{2} \in AB,\ CC_{2} \cap MN = C_{1}, DD_{2} \bot AB,\ D_{2} \in AB,\ DD_{2} \cap MN = D_{1},\ CC_{2}=DD_{2}=PQ=\frac{a+b}{b}OQ[/tex]
[tex]\because MN\|AB \Rightarrow CC_{1} \bot MN,\ DD_{1}\bot MN[/tex]

[tex]CC_{1}=DD_{1}=OQ[/tex] разстояния между успоредни прави

[tex]\triangle ONC \sim \triangle ABC[/tex] (по три ъгъла) [tex]\Rightarrow \frac{CC_{1}}{CC_{2}}=\frac{ON}{AB} \Rightarrow ON=\frac{CC_{1}}{CC_{2}}.AB \Rightarrow ON=\frac{OQ}{\frac{a+b}{b}OQ}.a=\frac{ab}{a+b}[/tex]

[tex]\triangle OMD \sim \triangle ABD[/tex] (по три ъгъла) [tex]\Rightarrow \frac{DD_{1}}{DD_{2}}=\frac{OM}{AB} \Rightarrow OM=\frac{DD_{1}}{DD_{2}}.AB \Rightarrow OM=\frac{OQ}{\frac{a+b}{b}OQ}.a=\frac{ab}{a+b}[/tex]

[tex]MN=OM+ON=\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+b}=\frac{2ab}{a+b}[/tex]

Оказва се, че в трапец, отсечката успоредна на основите и минаваща през пресечната точка на диагоналите на трапеца, се разполовява от пресечната точка на диагоналите на трапеца.

[Евва]

36 зад.
MN=[tex]\frac{3ab}{a+2b}[/tex] ?

[Евва]

36 зад. Нека т.М лежи на отсечката AD , т. N лежи на отсечката ВС .
Нека АС пресича MN в т.Р и BD пресича MN в т.Т .
MP=PT=TN=x
MN=3x=?

[tex]\triangle[/tex]APM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ACD (1 признак) [tex]\frac{MP}{DC}[/tex]=[tex]\frac{AP}{AC}[/tex] ; [tex]\frac{x}{b}[/tex]=[tex]\frac{AP}{AC}[/tex] ; AP=[tex]\frac{xAC}{b}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]PNC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\frac{PC}{AC}[/tex]=[tex]\frac{PN}{AB}[/tex] ; [tex]\frac{PC}{AC}[/tex]=[tex]\frac{2x}{a}[/tex] ; PC=[tex]\frac{2xAC}{a}[/tex] (2)

AP+PC=AC
[tex]\frac{xAC}{b}[/tex]+[tex]\frac{2xAC}{a}[/tex]=AC

AC([tex]\frac{x}{b}[/tex]+[tex]\frac{2x}{a}[/tex])=AC

[tex]\frac{ax+2bx}{ab}[/tex]=1
ax+2bx=ab
x=[tex]\frac{ab}{a+2b}[/tex]

3x=MN=[tex]\frac{3ab}{a+2b}[/tex]

[Евва]

35 зад. ABCD-трапец ( AB||CD ) нека AB=a ,CD=b и DH е височина на трапеца .
K(O;R)- вписана и се допира до AD и BC съответно в т.M и т.N ,а т.Р е среда на отс. MN .
Знаем R ,m=MN .
[tex]S_{ABCD }[/tex]=?

MN||AB [tex]\Rightarrow[/tex] ABCD е равнобедрен и DH=2R
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]AHD и [tex]\triangle[/tex]MOP
1. [tex]\angle[/tex]DAH=[tex]\angle[/tex]MOP (остри ъгли с взаимноперпендикулярни рамене)
2. [tex]\angle[/tex]AHD=[tex]\angle[/tex]OPM=90[tex]^\circ[/tex]
по 1 признак [tex]\triangle[/tex]AHD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MOP [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{DH}{MP}[/tex]=[tex]\frac{AD}{OM}[/tex] т.е. [tex]\frac{2R}{ \frac{m}{2} }[/tex]=[tex]\frac{AD}{R}[/tex] ; AD=[tex]\frac{4 R^{2 } }{m}[/tex]
ABCD е описан около окр.К [tex]\Rightarrow[/tex] AB+CD=AD+BC
a+b=2AD
AD=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex].h =AD.2R =[tex]\frac{4 R^{2 } }{m}[/tex].2R =[tex]\frac{8 R^{3 } }{m}[/tex]