Ортоцентър

[Гост]

Влизам с молба не да ми реши задачата за домашно някой, а само да ми подскаже как да тръгна. Трябва да се докаже, че трите височини се пресичат в една точка. Но не да се докаже просто някак, а в комбинация от приложение на подобни триъгълници и теорема на Чева. Ако го нямаше това изискване, нямаше да имам проблем, понеже поне по други два начина знам как да действам с доказателството. Благодаря предварително.

[nikola.topalov]

Разглеждаме [tex]\triangle ABC[/tex], за който [tex]BC=a[/tex], [tex]AC=b[/tex], [tex]AB=c[/tex] и съответно [tex]\angle A=\alpha[/tex], [tex]\angle B=\beta[/tex], [tex]\angle C=\gamma[/tex]. Нека височините са [tex]AP[/tex], [tex]BM[/tex] и [tex]CN[/tex]. Според теоремата на Чева те ще се пресичат в една точка, ако е изпълнено равенството $$\dfrac{AN}{NB}\cdot\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CN}{NA}=1$$ Да видим. От правоъгълния [tex]\triangle ANC[/tex] изразяваме [tex]AN=b\cos\alpha[/tex], от правоъгълния [tex]\triangle NBC[/tex] пък намираме [tex]NB=a\cos\beta[/tex]... След като изразим всичките такива отсечки, на които петите на височините разделят страните на триъгълника, то в крайна сметка след заместване наистина получаваме $$\dfrac{AN}{NB}\cdot\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CN}{NA}=\dfrac{b\cos\alpha}{a\cos\beta}\cdot\dfrac{c\cos\beta}{b\cos\gamma}\cdot\dfrac{a\cos\gamma}{c\cos\alpha}=1$$

[Гост]

Много благодаря, още едно доказателство вече знам Но домашното е за 9 клас и още не е учена тригонометрия. Изискването е за подобие и Чева. Вероятно с помощта на подобие могат да се изразят отсечките, така както сте го направили с тригонометрия, и после пак да се стигне след заместване до теорема на Чева. Въпросът е кое подбие. Опитах с това на ВНР и АРМ, но не стигнах доникъде. Ползвах и подобие от описани окръжности, но то е безполезно в случая, защото и без него с окръжностите се стига до извода, че и третата височина минава през Н.

[Гост]

АНМ имах предвид.

[nikola.topalov]

Извинявам се. В такъв случай да започнем от подобието [tex]\triangle MPC\sim\triangle ABC[/tex], с помощта на което намираме [tex]\dfrac{CP}{AC}=\dfrac{CM}{BC}[/tex]. Аналогично показваме, че са в сила равенствата [tex]\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{NA}{AC}[/tex] и [tex]\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{PB}{AB}[/tex], използвайки подобията [tex]\triangle ANM\sim\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle NBP\sim\triangle ABC[/tex]. Умножаваме почленно трите равенства, които намерихме, откъдето получаваме $$\dfrac{CP}{AC}\cdot\dfrac{AM}{AB}\cdot\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MC}{BC}\cdot\dfrac{NA}{AC}\cdot\dfrac{PB}{AB}\Leftrightarrow CP\cdot AM\cdot BN=MC\cdot NA\cdot PB$$ След малко "оформяне" на горното равенство стигаме до това, което всъщност трябваше да се докаже: $$\dfrac{CP}{PB}\cdot\dfrac{BN}{NA}\cdot\dfrac{AM}{MC}=1$$

[Гост]

Много благодаря отново!