Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 10 cm и 8 cm. В него е вписан квадрат така, че единият от ъглите му съвпада с правия ъгъл на триъгълника. Намерете страната на квадрата.

[mail_dinko]

Намираме хипотенузата на триъгълника [tex]AB = \sqrt {10^2+8^2}= \sqrt {164}[/tex]
[tex]AB=AN+NB[/tex]
[tex]\sqrt {164} = \sqrt {PA^2+PN^2} + \sqrt {MN^2 + MB^2}[/tex]
[tex]\sqrt {164} = \sqrt {64-16x+2x^2} + \sqrt {100-20x+2x^2}[/tex]
[tex]\cancel {164} =\cancel {64}-16x+2x^2+\cancel {100}-20x+2x^2 + 2 \sqrt {(64-16x+2x^2 )(100-20x+2x^2 )}[/tex]
[tex]36x-4x^2 = 2 \sqrt {6400-1280x+128x^2-1600x+320x^2-32x^3+200x^2 - 20 x^3+ 4 x^4} |:2[/tex]
[tex]324 x^2 \cancel {-72x^3} + \cancel {4 x^4} = 6400-1280x+128x^2-1600x+320x^2\cancel {-32x^3}+200x^2\cancel { - 40 x^3}+ \cancel {4 x^4}[/tex]
[tex]324x^2-2880x +6400 =0|:4[/tex]
[tex]81x^2-720x +1600 =0[/tex]
[tex]D=360^2-81.1600 = 9^2.40^2 - 9^2.40^2 =0[/tex]
[tex]x = \frac {40}{9}[/tex]

[Евва]

( 2 начин )
[tex]\angle[/tex]NAP=[tex]\angle[/tex]BNM=[tex]\alpha[/tex] ( съответни ъгли )
[tex]\angle[/tex]APN=[tex]\angle[/tex]NMB=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

по 1 признак [tex]\triangle[/tex]ANP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NBM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{PN}{BM}[/tex]=[tex]\frac{AP}{MN}[/tex] т.е.
[tex]\frac{x}{10-x}[/tex]=[tex]\frac{8-x}{x}[/tex]

[tex]x^{2 }[/tex]=80-10x-8x+[tex]x^{2 }[/tex]
x=[tex]\frac{80}{18}[/tex]=[tex]\frac{40}{9}[/tex] см.

[Гост]

Благодаря вии!!