Мат триъгълници

[Гост]

1. В триъгълника ABC AC=9, BC=6 и височината CD към третата страна е 5. Намерете радиуса на описаната окръжност.
2. Отсечката CD е височина към хипотенузата AB на правоъгълния триъгълник ABC, DP и DQ са разстоянията от D съответно до AC и BC, a DP:DQ=3:2. Намерете дължините на касетите, ако сборът им е 10см.

[Евва]

1. R=?
[tex]\frac{BC}{sinBAC}[/tex]=2R

[tex]\frac{6}{ \frac{CD}{AC} }[/tex]=2R

[tex]\frac{6}{ \frac{5}{9} }[/tex]=2R

R=5,4

[Евва]

2 зад.
[tex]\frac{DP}{DQ}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex]
AC+BC=10 см.
AC=? BC=?
Нека [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABC=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
[tex]\triangle[/tex]DBC -правоъгълен [tex]\angle[/tex]BCD=?
[tex]\angle[/tex]BCD+[tex]\angle[/tex]CDB+[tex]\angle[/tex]DBC=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BCD+90[tex]^\circ[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BCD=[tex]\alpha[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ADC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DBC по 1 признак , защото
1. [tex]\angle[/tex]DAC=[tex]\angle[/tex]BCD=[tex]\alpha[/tex]
2. [tex]\angle[/tex]ADC=[tex]\angle[/tex]CDB=90[tex]^\circ[/tex]
От подобието следва [tex]\frac{AC}{BC}= \frac{h към AC}{h към BC}[/tex] т.е. [tex]\frac{AC}{BC}= \frac{DP}{DQ}[/tex] ; [tex]\frac{AC}{BC} =\frac{3}{2}[/tex]

Остава да решим системата :
[tex]\begin{array}{|l} AC + BC = 10 \\ \frac{AC}{BC} =\frac{3}{2} \end{array}[/tex]

Получих AC=6 см. , BC=4 см.

[S.B.]

1. В триъгълника ABC AC=9, BC=6 и височината CD към третата страна е 5. Намерете радиуса на описаната окръжност.

Без заглавие - 2022-03-16T124654.699.png (235.43 KiB) Прегледано 1597 пъти

Тъй като в 9 клас все още не е изучавана Синусова теорема , аз предлагам друг начин за решение:
За [tex]\triangle ADC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AD^{2 } = AC^{2 } - CD^{2 } \Leftrightarrow AD^{2 } = 56 \Rightarrow AD = 2 \sqrt{14}[/tex]

За [tex]\triangle BDC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]BD^{2 } = BC^{2 } - DC^{2 } \Leftrightarrow BD^{2 } = 11 \Rightarrow BD = \sqrt{11}[/tex]
[tex]AB = \sqrt{11} + 2 \sqrt{14}[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{( \sqrt{11} + 2 \sqrt{14}).5 }{2}[/tex]
Ще използвам следната формула за лице на триъгълник:
$$S_{ABC }= \frac{a.b.c}{4R} $$

[tex]\frac{( \sqrt{11} + 2 \sqrt{14}).5 }{2} = \frac{6.9.( \sqrt{11} + 2 \sqrt{14}) }{4R} \Leftrightarrow 5 = \frac{6.9}{2R} \Rightarrow R = 5,4[/tex]