Доказване

[Гост]

Като се използват средните отсечки в правоъгълен триъгълник, да се докаже, че медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата.

[Wiktor]

Ще приложа чертеж към моето доказателство (не е от най-добрите, но ще свърши работа).

Нека ABC е въпросния правоъгълен триъгълник.
Нека N, M, P са средите съответно на AC, BC и AB.
Нека AM е медианата към хипотенузата.

Трябва да докажем, че:
[tex]AM = \frac{1}{2} BC[/tex]

Ще подходя по следния начин.
Знаем, че средните отсечки срещу катет са страни на правоъгълник ([tex]AN=MP[/tex] и тези две страни са и успоредни. Аналогично за[tex]NM, AP[/tex]. С правите ъгли се получава и правоъгълника [tex]APMN[/tex]).

Нека сега да разгледаме правоъгълника APMN.
За доказателството ще ни трябва това, че средната отсечка [tex]NP|| BC, NP = \frac{1}{2} BC[/tex].
За правоъгълника знаем, че диагоналите му са равни. В случая NP (средната отсечка) и AM (медианата към хипотенузата) са очевидно диагоналите на правоъгълника. Т.е. AM = NP.

Оттук стигаме до извода, че [tex]NP = AM = \frac{1}{2}BC[/tex]