Ирационални уравнения

[mitak88]

Здравейте имам едно въпросче ето например тази задача.
2?1-?x-?4x-?3=1
Не ми е ясно промяната на знаците не ми излизат решенията правилно когато събираме X-совете например x=-x
ще даде 2x,но в учебника е написано с отрицателен знак,числата по същия начин,например 5x-2=3 ще ми даде 5x=5

[ptj]

Когато прехвърляш нещо от другата страна на равенството то си сменя знака.

2?1-?x-?4x-?3=1

Ако си имал предвид:

[tex]2\sqrt{1}-\sqrt{x}-\sqrt{4x}-\sqrt{3} =1[/tex],
то [tex]-\sqrt{x}-\sqrt{4x}=1-2\sqrt{1}+\sqrt{3}[/tex]
[tex]-\sqrt{x}-2\sqrt{x}=1-2+\sqrt{3}[/tex]
[tex]-3\sqrt{x}=-1+\sqrt{3}[/tex]
[tex]\sqrt{x}=\frac{\sqrt{3}-1 }{-3 }[/tex]
[tex]\sqrt{x}\ge 0[/tex] - по определение
[tex]\frac{\sqrt{3}-1 }{-3 }<0[/tex] и затова написано от теб уравнение няма решение.

[mitak88]

Прикачил съм файл и сега ще обясня какво точно не ми е ясно

2-002.jpeg (313.2 KiB) Прегледано 1214 пъти

Задача 1
При x^2-x+2=4 след равното знака се променя и става 4-2=2
x^2-x+2=0 не е ли така.Аз получавам,че това квадратно уравнение няма решение,а отговорите са 2 -1
Задача 3
При 4-4x=4x-2+2?4x-?3
-4x-4x=-8x?

[ptj]

На третия ред какъв е този [tex]\pm[/tex], който си сложил?
Ирационалните уравненния не са нищо особено. Те се решават като обикновени чрез повдигане на квадрат и освобождавене от корена. Имат само една особеност - дефинициона област (величината във всеки един корен трябва да е неотрицателна).

Ето как се решават твоите примери:
1.)
[tex]\sqrt{x^2-x+2}=2[/tex] , Деф. обл.: [tex]x^2-x+2\ge0[/tex]

[tex]\sqrt{x^2-x+2})^2=2^2[/tex]
[tex]x^2-x+2=4[/tex]
[tex]x^2-x-2=0[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4.1.(-2)} }{ 2.(-2)}[/tex]
...
[tex]x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{ 2}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{ 2}[/tex]
[tex]x_{1}=2[/tex] ; [tex]x_{2}=-1[/tex]

[tex]x^2-x+2=(x^2-x-2)+4=0+4>0[/tex] (проверка за деф.обл.)

2.)
[tex]\sqrt{3x^2-8x-2}=1[/tex], Деф. обл.:[tex]3x^2-8x-2\ge0[/tex]

[tex](\sqrt{3x^2-8x-2}^2=1^2[/tex],
[tex]3x^2-8x-3=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-3.(-3)} }{ 3}[/tex] (съкратена формула за [tex]\frac{b}{ 2}[/tex])
[tex]x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{25} }{3}[/tex]
[tex]x_1=3 ; x_2=-\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]3x^2-8x-2=(3x^2-8x-3)+1=0+1=1>0[/tex] (сл. [tex]x_{1,2}[/tex] са решения)

3.)
[tex]2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3} =1[/tex]

Деф. обл.: [tex]1-x\ge0[/tex] и [tex]4x-3\ge0[/tex]
[tex]x\le 1[/tex] и [tex]x\ge \frac{3}{ 4}[/tex]
[tex]x \in [\frac{3}{4 };1][/tex]

[tex](2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3})^2 =1^2[/tex]
[tex](2\sqrt{1-x})^2+(-\sqrt{4x-3})^2+2(2\sqrt{1-x})(-sqrt{4x-3}) =1^2 =1[/tex]
[tex]2-2x+4x-3-4\sqrt{(1-x)(4x-3)}=1[/tex]
[tex]2\sqrt{(1-x)(4x-3)}=x-1[/tex]
[tex]4(1-x)(4x-3)=(x-1)^2[/tex]

[tex]x_1=1[/tex] или

[tex]4(4x_2-3)=(1-x_2)[/tex]
[tex]15x_2=13[/tex]
[tex]x_2=\frac{13}{15 }[/tex]

[tex]x_{1,2} \in [\frac{3}{ 4};1][/tex]

[mitak88]

На третия ред какъв е този [tex]\pm[/tex], който си сложил?
Ирационалните уравненния не са нищо особено. Те се решават като обикновени чрез повдигане на квадрат и освобождавене от корена. Имат само една особеност - дефинициона област (величината във всеки един корен трябва да е неотрицателна).

Ето как се решават твоите примери:
1.)
[tex]\sqrt{x^2-x+2}=2[/tex] , Деф. обл.: [tex]x^2-x+2\ge0[/tex]

[tex]\sqrt{x^2-x+2})^2=2^2[/tex]
[tex]x^2-x+2=4[/tex]
[tex]x^2-x-2=0[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{ 2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4.1.(-2)} }{ 2.(-2)}[/tex]
...
[tex]x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{ 2}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{ 2}[/tex]
[tex]x_{1}=2[/tex] ; [tex]x_{2}=-1[/tex]

[tex]x^2-x+2=(x^2-x-2)+4=0+4>0[/tex] (проверка за деф.обл.)

2.)
[tex]\sqrt{3x^2-8x-2}=1[/tex], Деф. обл.:[tex]3x^2-8x-2\ge0[/tex]

[tex](\sqrt{3x^2-8x-2}^2=1^2[/tex],
[tex]3x^2-8x-3=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-3.(-3)} }{ 3}[/tex] (съкратена формула за [tex]\frac{b}{ 2}[/tex])
[tex]x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{25} }{3}[/tex]
[tex]x_1=3 ; x_2=-\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]3x^2-8x-2=(3x^2-8x-3)+1=0+1=1>0[/tex] (сл. [tex]x_{1,2}[/tex] са решения)

3.)
[tex]2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3} =1[/tex]

Деф. обл.: [tex]1-x\ge0[/tex] и [tex]4x-3\ge0[/tex]
[tex]x\le 1[/tex] и [tex]x\ge \frac{3}{ 4}[/tex]
[tex]x \in [\frac{3}{4 };1][/tex]

[tex](2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3})^2 =1^2[/tex]
[tex](2\sqrt{1-x})^2+(-\sqrt{4x-3})^2+2(2\sqrt{1-x})(-sqrt{4x-3}) =1^2 =1[/tex]
[tex]2-2x+4x-3-4\sqrt{(1-x)(4x-3)}=1[/tex]
[tex]2\sqrt{(1-x)(4x-3)}=x-1[/tex]
[tex]4(1-x)(4x-3)=(x-1)^2[/tex]

[tex]x_1=1[/tex] или

[tex]4(4x_2-3)=(1-x_2)[/tex]
[tex]15x_2=13[/tex]
[tex]x_2=\frac{13}{15 }[/tex]

[tex]x_{1,2} \in [\frac{3}{ 4};1][/tex]

ми точно това не мога да разбера
x^2-x+2=4 знака след равното се промениа 4-2=2 защо знака става минус това не мога да разбера 4-2е равно на 2 не на -2

[ptj]

Уф, аман от рендета.

Ами като прехвърлиш 4 от другата страна нали си сменя знака, т.е. получаваш [tex]x^2-x+2-4=0[/tex] <=>[tex]x^2-x-2=0[/tex]

[mitak88]

Image-002.jpeg (400.2 KiB) Прегледано 1190 пъти

А ще ми обясните ли как се решават тези задачи,чрез полагане

[ptj]

Означаваш си величината под корена за "t", a отвън него ти остава нещо по "t" + число. После решаваш квадратно уравнение за "t". След като намериш решенията му (за "t") се връщаш към полагането, за да намериш съответните "x".

Опитай сам и пусни тук решенията си. После ще ги коментираме.

[ganka simeonova]

3.)
[tex]2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3} =1[/tex]

Деф. обл.: [tex]1-x\ge0[/tex] и [tex]4x-3\ge0[/tex]
[tex]x\le 1[/tex] и [tex]x\ge \frac{3}{ 4}[/tex]
[tex]x \in [\frac{3}{4 };1][/tex]

[tex](2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3})^2 =1^2[/tex]
[tex](2\sqrt{1-x})^2+(-\sqrt{4x-3})^2+2(2\sqrt{1-x})(-sqrt{4x-3}) =1^2 =1[/tex]
[tex]2-2x+4x-3-4\sqrt{(1-x)(4x-3)}=1[/tex]
[tex]2\sqrt{(1-x)(4x-3)}=x-1[/tex]
[tex]4(1-x)(4x-3)=(x-1)^2[/tex]

[tex]x_1=1[/tex] или

[tex]4(4x_2-3)=(1-x_2)[/tex]
[tex]15x_2=13[/tex]
[tex]x_2=\frac{13}{15 }[/tex]

[tex]x_{1,2} \in [\frac{3}{ 4};1][/tex]

Тотално грешно решение. Единственият отговор е х=3/4.

[Martin Nikovski]

Нека да опитам...
[tex]2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3}=1[/tex]
[tex]\cyr{DM}:[/tex] [tex]1-x\ge 0[/tex] и [tex]4x-3\ge 0[/tex]
[tex]x\le 1[/tex] и [tex]x\ge \frac{3}{4 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\in \left[\frac{3}{4 } ;1\right][/tex]
[tex]2\sqrt{1-x}-\sqrt{4x-3}=1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2\sqrt{1-x}=1+\sqrt{4x-3}[/tex]
Написани в този вид, лявата и дясната страни на уравнението са неотрицателни. Ето защо можем да сме сигурни, че след вдигане на втора степен полученото уравнение ще е еквивалентно на първоначалното, т.е. всяко решение на новото уравнение ще е решение и на първоначалното. Вдигаме на втора степен:
[tex]\left(2\sqrt{1-x}\right)^2=\left(1+\sqrt{4x-3}\right)^2[/tex]
[tex]4(1-x)=1+2\sqrt{4x-3}+4x-3[/tex]
[tex]4-4x=1+2\sqrt{4x-3}+4x-3[/tex]
[tex]2\sqrt{4x-3}=6-8x[/tex] [tex]/:2[/tex]
[tex]\sqrt{4x-3}=3-4x[/tex]
Тук трябва да добавим едно допълнително ограничение... Тъй като лявата страна е [tex]\sqrt{4x-3}[/tex], тя е неотрицателна
([tex]\sqrt{a}\ge 0[/tex] за всяко [tex]a\ge 0[/tex]). Следователно дясната страна също трябва да е неотрицателна (защото е равна на [tex]\sqrt{4x-3}[/tex]).
[tex]3-4x\ge 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\le \frac{3}{4 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\in\left(-\infty;\frac{3}{4 } \right][/tex]. Пресичайки този интервал с [tex]\cyr{DM}:{x\in \left[\frac{3}{4 };1\right][/tex], получаваме, че единственото решение e [tex]x=\frac{3}{4 }[/tex].

[mitak88]

[attachment=0]Image-002.jpeg[/attachmen
Това успях да направя.Няма да ми се смеете

[Martin Nikovski]

Знакът пред [tex]4[/tex] e [tex]+[/tex], а не [tex]-[/tex]...
[tex]u^2-4u+4=0[/tex]... Лявата страна е формула за съкратено умножение - [tex](u-2)^2[/tex].
П.П. Няма нищо смешно в това да се учиш...