Трапец - разстояние между средите на диагонали

[Гост]

ако мярката на острия ъгъл в равнобедрен трапец е равен на 60 градуса, а бедрото му е 10 см, то разстоянието между средите на диагонали е колко

[Wiktor]

Прилагам чертеж.

Нека разстоянието между средите на диагоналите да бъде MN. Нека М да бъде средата на диагонала АС, а N - на BD.
Построявам височина от върха D до голямата основа; нека тази височина бъде [tex]DD_{1 }.)[/tex]
Разстоянието между средите на диагоналите на трапец се изчислява като вземем полуразликата между голямата и малката основа (това ще рече, че [tex]MN = \frac{a-b}{2}[/tex]
От свойствата на равнобедрения трапец знаем, че височината дели голямата основа на две различни части...
[tex]AD_{1 } = \frac{a-b}{2}[/tex] и [tex]D_{1 }B = \frac{a+b}{2}[/tex]. Виждаме, че [tex]MN[/tex] и [tex]AD_{1}[/tex] се намират по същата формула, т.е. те са равни.

[tex]AD=BC=10 cm[/tex]
[tex]\angle BAC = 60 ^\circ[/tex]
[tex]MN = ?[/tex]

Разглеждам [tex]\triangle ADD_{1}[/tex], който е правоъгълен.
cos [tex]\angle BAC = \frac{AD_{1}}{AD} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{AD_{1}}{10} \Rightarrow AD_{1} = 5 cm[/tex], a знаем, че [tex]AD_{1} = MN[/tex], тоест разстоянието между средите на диагоналите [tex]MN = 5 cm.[/tex]