Задача за правоъгълен триъгълник и вписана окръжност

[Nikk]

За правоъгълен триъгълник са дадени лицето S=60 cm2, радиусът на вписаната окръжност r=3 cm и радиусът на описаната около него окръжност R=8.5 cm. Намерете дължините на страните му.

[Wiktor]

Няма смисъл да давам чертеж, всичко става с формули.

[tex]c=2R \Rightarrow c=17 cm[/tex] (В сила за правоъгл. триъгълник)

В правоъгл. триъгълник радиуса е равен на:
[tex]r = \frac{a+b-c}{2} \Rightarrow 3 = \frac{a+b-17}{2} \Leftrightarrow a+b = 23[/tex]

Лицето на правоъгл. триъгълник получаваме от полупроизведението на катетите [tex]\Rightarrow \frac{ab}{2} = 60 \Leftrightarrow ab = 120[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} ab = 120 \\ a+b = 23 \end{array}[/tex]

След заместване стигам до следния момент:
[tex]\begin{array}{|l} a=23-b \\b^{2}-23b+120=0\end{array}[/tex]
[tex]D=23^{2} - 4.1.120 \Rightarrow D = 49 = 7^{2}[/tex]
[tex]b_{1,2 } = \frac{23 \pm 7 }{2} \Rightarrow[/tex] Като за стойност ще избера [tex]b[/tex] да е 15 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b_{1} = 15[/tex]

Връщаме се към системата.
[tex]\begin{array}{|l} a=8 \\ b=15 \end{array}[/tex]

Отговори: [tex]a = 8 cm; b = 15 cm; c = 17 cm.[/tex]

[Nikk]

Благодаря!