Задача с равнобедрен трапец и описана окръжност

[Nikk]

Намерете дължините на диагонала и бедрото на равнобедрен трапец с основи 20 cm и 12cm, ако знаете, че центърът на описаната около трапеца окръжност лежи на голямата основа.

[S.B.]

Намерете дължините на диагонала и бедрото на равнобедрен трапец с основи 20 cm и 12cm, ако знаете, че центърът на описаната около трапеца окръжност лежи на голямата основа.

Без заглавие - 2022-05-08T215430.437.png (221.51 KiB) Прегледано 747 пъти

Центърът на описаната окръжност лежи на [tex]AB \Rightarrow AB[/tex] е диаметър [tex]\Rightarrow \angle ACB = 90 ^\circ[/tex]
Построявам [tex]CH \bot AB, H \in AB , DP \bot AB , P \in AB[/tex]
$PHCD$ е правоъгълник [tex]\Rightarrow PH = CD= 12[/tex]
[tex]\triangle APD \cong \triangle HCB[/tex] (втори признак ) [tex]\Rightarrow AP = HB = 4[/tex]
$CH$ е височина в правоъгълния [tex]\triangle ABC \Rightarrow CH^{2 } = AH.HB \Leftrightarrow CH^{2 } = 16.4 = 64 \Rightarrow CH = 8[/tex]
Прилагам за [tex]\triangle HBC[/tex] Питагорова теорема:
[tex]BC^{2 } = HC^{2 } + HB^{2 } \Leftrightarrow BC^{2 } = 64 + 16 = 80 \Rightarrow BC = \sqrt{80} \Rightarrow BC = 4 \sqrt{5}[/tex]

Прилагам за [tex]\triangle AHC[/tex] Питагорова теорема:
[tex]AC^{2 } = CH^{2 } + AC^{2 } \Leftrightarrow AC^{2 } = 64 + 256 = 320 \Rightarrow AC = \sqrt{320} = 8 \sqrt{5}[/tex]
$$AD = BC = 4 \sqrt{5} ; AC = BD = 8 \sqrt{5} $$

[Nikk]

Благодаря!