Задача с правоъгълник

[Nikk]

В правоъгълника ABCD ъглополовящата на ъгълABC пресича диагонала AC в точката L, като AC=25cm и AL:CL=4:3. Намерете дължините на страните AB и AD.

[Wiktor]

Задачата не съответства много с чертежа, който се приложили, затова ще приложа мой собствен.

Ще използваме свойството на ъглополовящата, което предполагам, че сте учили.
Ще използваме и това, че диагоналите в правоъгълник са равни.
Нека [tex]AB=CD=b, AD=BC=a[/tex]

Разгл. [tex]\triangle ABC[/tex].
[tex]CL[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ABC[/tex], което ни дава правото да използваме свойството на ъглополовящата.

[tex]\frac{AL}{CL} = \frac{b}{a}[/tex]

Отношението на [tex]AL[/tex] и [tex]CL[/tex] знаем. Заместваме това отношение, което ни е дадено по условие и получаваме:

[tex]\frac{4}{3} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow b= \frac{4}{3}a[/tex]

Понеже правоъгълникa е вид успоредник, то за него е изпълнено следното равенство: [tex]AC^{2}+BD^{2} = 2(a^{2}+b^{2})[/tex].

Понеже имаме правоъгълник (а в правоъгълника диагоналите са равни), то [tex]\Rightarrow 2AC^{2} = 2(a^{2}+b^{2}) \Leftrightarrow AC^{2} = a^{2}+b^{2}[/tex]. Сега директно замествам в полученото.

[tex]625 = a^{2}+ \frac{16}{9}а^{2} \Rightarrow 625*9 = 9a^{2}+16a^{2} \Rightarrow 25a^{2} = 5625 \Leftrightarrow a^{2} = 225 \Leftrightarrow a = 15 cm[/tex]
Замествам за b [tex]\Rightarrow b = \frac{4*15}{3} \Leftrightarrow b = 20 cm.[/tex]

Отговори: [tex]AB = b = 20 cm, AD = a = 15 cm[/tex]

[Wiktor]

Задачата не съответства много с чертежа, който се приложили, затова ще приложа мой собствен.

Ще използваме свойството на ъглополовящата, което предполагам, че сте учили.
Ще използваме и това, че диагоналите в правоъгълник са равни.
Нека [tex]AB=CD=b, AD=BC=a[/tex]

Разгл. [tex]\triangle ABC[/tex].
[tex]CL[/tex] е ъглополовяща на ъгъла [tex]\triangle ABC[/tex], което ни дава правото да използваме свойството на ъглополовящата.

[tex]\frac{AL}{CL} = \frac{b}{a}[/tex]

Отношението на [tex]AL[/tex] и [tex]CL[/tex] знаем. Заместваме това отношение, което ни е дадено по условие и получаваме:

[tex]\frac{4}{3} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow b= \frac{4}{3}a[/tex]

Понеже правоъгълникa е вид успоредник, то за него е изпълнено следното равенство: [tex]AC^{2}+BD^{2} = 2(a^{2}+b^{2})[/tex].

Понеже имаме правоъгълник (а в правоъгълника диагоналите са равни), то [tex]\Rightarrow 2AC^{2} = 2(a^{2}+b^{2}) \Leftrightarrow AC^{2} = a^{2}+b^{2}[/tex]. Сега директно замествам в полученото.

[tex]625 = a^{2}+ \frac{16}{9}а^{2} \Rightarrow 625*9 = 9a^{2}+16a^{2} \Rightarrow 25a^{2} = 5625 \Leftrightarrow a^{2} = 225 \Leftrightarrow a = 15 cm[/tex]
Замествам за b [tex]\Rightarrow b = \frac{4*15}{3} \Leftrightarrow b = 20 cm.[/tex]

Отговори: [tex]AB = b = 20 cm, AD = a = 15 cm[/tex]

[S.B.]

В правоъгълника ABCD ъглополовящата на ъгълABC пресича диагонала AC в точката L, като AC=25cm и AL:CL=4:3. Намерете дължините на страните AB и AD.

Без заглавие - 2022-05-26T172928.537.png (166.81 KiB) Прегледано 726 пъти

Още един поглед върху задачата

Скрит текст: покажи

Добре е,че си написал условието,на задачата!Чертежът ,който си представил няма нищо общо с условието!

$BL$ е ъглополовяща в [tex]\triangle ABC \Rightarrow \frac{AL}{CL} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3} \Rightarrow AB = 4x , BC = 3x , x>0[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AC^{2 } = AB^{2 }+ BC^{2 } \Leftrightarrow 25^{2 } = (4x)^{2 } + (3x)^{2 } \Leftrightarrow 25^{2 } = 16 x^{2 }+ 9 x^{2 } \Leftrightarrow 25^{2 } = 25 x^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } = 25[/tex]
[tex]x^{2 } = 25 \Rightarrow x= \pm 5, x>0 \Rightarrow x = 5[/tex]
$$AB = 4.5 = 20 , BC = 3.5 = 15$$