тригонометрия

[ggggg]

здрасти видях че по-долния пост е свързан с тригонометрия ще може ли да ми кажете как се получават тези 4 уравнения

1. sin2a=sina.cosа+cosа.sinа=2sinа.cosа така до тук знам,че това характеризира sin(а+а) и защо е равно на
sina.cosа+cosа.sinа ,но не знам,защо този израз sina.cosа+cosа.sinа е равен на 2sinа.cosа да не се делят двете стани на някакъв общ знаменател ?

2. второто уравнение е свърано с понижаване на степента cos а/2=1/2+cosа/2 тук косинуса е на квадрат предполагам,че за това трябва да се използва Питагоровата теорема,но пак не знам защо е равно на 1/2+cos/2

3. третото уравнение sinа.cosb=1/2(sin(а+б)+sin(а-b) ,тук е мътна Индия

4. четвъртото е свързано със сбор на тригонометрични функции sina+sinb=2sin (a+b)/2.cos (a-b)/2

ако може малко по-подробно обяснение

[Martin Nikovski]

1. Ами... доколкото разбирам, питаш защо [tex]sin\alpha.cos\alpha+cos\alpha .sin\alpha =2sin\alpha.cos\alpha[/tex]...
Ако е така (което ми се струва странно), помисли защо [tex]1+1=2[/tex]...

[ggggg]

хах всъщност първата я написах за да ми помогнете с другите три след като видите,че е лесна мислех че ще се захванете и с другите следващите не ги знам

[Martin Nikovski]

2. Вероятно имаш предвид: [tex]cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha }{2 }[/tex]
Първо доказваме, че [tex]cos2\alpha =2cos^2\alpha-1[/tex]
[tex]cos2\alpha =cos(\alpha +\alpha )=cos\alpha .cos\alpha -sin\alpha.sin\alpha =cos^2\alpha -sin^2 \alpha=cos^2\alpha -(1-cos^2\alpha )=2cos^2\alpha -1[/tex]
Използвайки това равенство, доказваме търсеното:
[tex]cos2\alpha=2cos^2\alpha -1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2 }[/tex]

[Martin Nikovski]

3. [tex]sin\alpha .cos\beta =\frac{1}{2 } \left[sin (\alpha+\beta )+sin (\alpha-\beta ) \right][/tex]
Тук е по-лесно да преобразуваме дясната част и да докажем, че е равна на лявата...
[tex]\frac{1}{2 } \left[sin (\alpha+\beta )+sin (\alpha-\beta ) \right]=\frac{1}{2 }\left(sin\alpha.cos\beta+\cancel{cos\beta.sin\alpha}+sin\alpha.cos\beta-\cancel{cos\beta.sin\alpha}\right)=\frac{1}{\cancel2 }.\cancel2sin\alpha.cos\beta=[/tex]
[tex]=sin\alpha.cos\beta[/tex]

4. [tex]sin\alpha +sin\beta=2sin[/tex][tex]\frac{\alpha+\beta}{2 }.cos[/tex][tex]\frac{\alpha-\beta}{2 }[/tex]
Отново ще преобразуваме дясната страна...
Използваме вече доказаното тъждество 3.: [tex]sin\alpha .cos\beta =\frac{1}{2 } \left[sin (\alpha+\beta )+sin (\alpha-\beta ) \right][/tex]
[tex]2sin\ \frac{\alpha+\beta}{2 }.cos\ \frac{\alpha-\beta}{2 }=\cancel2.\frac{1}{\cancel2 }.\left[ sin\ \left(\frac{\alpha+\beta }{2 }+\frac{\alpha -\beta}{2 }\right)+sin\ \left(\frac{\alpha+\beta }{2 }-\frac{\alpha -\beta}{2 }\right)\right]=sin\ \frac{\cancel2\alpha}{\cancel2 }+sin\ \frac{\cancel2\beta}{\cancel2 }=sin\alpha +sin\beta[/tex]

[ggggg]

благодаря