ЗАДАЧИ ОТ РАЗДЕЛ ТРИГОНОМЕТРИЯ

[quentos]

Здравейте!Имам проблем с решаването на някои задачи и реших да се обърна към вас!
Лицето на триъгълник ABC e 84см2,а AC-AB=11см.Да се намери sin[gama],ako sin[alfa]=0,8
Отг.8/17
Да се намери радиусът на вписаната в правоъгълен триъгълник ABC окръжност по дадени:
a)b i alfa
b)Mc (medianata mc) i alfa
v)Hc (visochinata hc) i alfa
Периметърът на успоредник е 30см. , лицето му е 36см2 , а синусът на острия ъгъл е 2/3 . Да се намерят височините му.
Отг.4см,6см.

[Martin Nikovski]

Не знам учил ли си синусова теорема... защото тя по принцип се учи в 10 клас...

[quentos]

Не,не съм!

[Martin Nikovski]

ОК, уточнихме се...
1.

Чертеж.

Drawing.jpg (9.68 KiB) Прегледано 691 пъти

Построяваме височината [tex]CC_1[/tex].
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AB.CC_1}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]84=\frac{AB.CC_1}{2 }[/tex]
Нека [tex]AB=x[/tex]. Тогава [tex]84=\frac{x.CC_1}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CC_1=\frac{84.2}{x }=\frac{168}{x }[/tex].
Разглеждаме [tex]\Delta AC_1C[/tex] ([tex]\angle AC_1C=90^\circ[/tex]):
[tex]sin\alpha =\frac{CC_1}{AC }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]0,8=\frac{CC_1}{AC }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AC=\frac{CC_1}{0,8 }[/tex].
Заместваме [tex]CC_1[/tex] с [tex]\frac{168}{x }[/tex]...
[tex]AC=\frac{\frac{168}{x } }{0,8 }=\frac{168}{0,8x }=\frac{210}{x }[/tex]
От условието [tex]AC-AB=11[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{210}{x } -x=11[/tex] [tex]/.x[/tex]
[tex]210 -x^2=11x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^2+11x-210=0[/tex]
Решаваме квадратното уравнение: [tex]D=11^2+4.1.210=121+840=961[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{-11\pm\sqrt{961}}{ 2}[/tex]
[tex]x>0[/tex] (страна в триъгълник) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\frac{-11+\sqrt{961}}{2 } =\frac{-11+31}{2 }=10[/tex]
[tex]AB=x=10cm[/tex]
[tex]AC-AB=11[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AC=AB+11=10+11=21cm[/tex]
[tex]CC_1=\frac{168}{x }=\frac{168}{10 } =16,8cm[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AC_1C[/tex] ([tex]\angle AC_1C=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:AC_1^2=AC^2-CC_1^2=21^2-16,8^2=158,76[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AC_1=12,6cm[/tex]
[tex]BC_1=AC_1-AB=12,6-10=2,6cm[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BC_1C[/tex] ([tex]\angle BC_1C=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]BC^2=BC_1^2+CC_1^2=2,6^2+16,8^2=289[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC=17cm[/tex]
Построяваме височината [tex]AA_1[/tex].
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{BC.AA_1}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]84=\frac{17.AA_1}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AA_1=\frac{168}{17 }cm[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AA_1C[/tex] ([tex]\angle AA_1C=90^\circ[/tex]):
[tex]sin\gamma =\frac{AA_1}{AC }=\frac{\frac{168}{17 }}{21 }=\frac{8}{17 }[/tex]

[quentos]

Благодаря много,бях стигнал до 16,8см. и оттам нататък нещо се обърка.Надявам се,че когато имаш свободно време ще погледнеш и другите задачи и отново благодаря за отделеното време!

[Martin Nikovski]

2. Тук е полезно да въведем една формулка за радиус на вписана окръжност (но САМО в правоъгълен триъгълник)!
[tex]r=p-c=\frac{a+b+c}{2 } -c=\frac{a+b+c-2c}{2 } =\frac{a+b-c}{2 }[/tex]
а) Разглеждаме [tex]\Delta ABC[/tex] ([tex]\angle ACB=90^\circ[/tex]):
[tex]cos\alpha =\frac{b}{c }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c=\frac{b}{cos\alpha }[/tex]
[tex]tg\alpha =\frac{a}{b }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a=b.tg\alpha[/tex]
[tex]r=\frac{a+b-c}{2 }=\frac{b.tg\alpha+b-\frac{b}{cos\alpha } }{2 }=\frac{b.\frac{sin\alpha}{cos\alpha } +b-\frac{b}{cos\alpha } }{2 }=\frac{b}{2cos\alpha }\left(sin\alpha+cos\alpha-1\right)[/tex]
б) Знаем, че медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата.
[tex]m_c=\frac{c}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c=2m_c[/tex]
[tex]sin\alpha=\frac{a}{c }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a=c.sin\alpha=2m_c.sin\alpha[/tex]
[tex]cos\alpha =\frac{b}{c }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b=c.cos\alpha=2m_c.cos\alpha[/tex]
[tex]r=\frac{a+b-c}{2 }=\frac{2m_c.sin\alpha+2m_c.cos\alpha-2m_c}{2 }=m_c\left(sin\alpha+cos\alpha-1)[/tex]
в) [tex]sin\alpha =\frac{h_c}{b }[/tex] (ако искаш, си направи чертеж) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b=\frac{h_c}{sin\alpha }[/tex]
[tex]cos\alpha =\frac{b}{c }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c=\frac{b}{cos\alpha }=\frac{\frac{h_c}{sin\alpha } }{cos\alpha }=\frac{h_c}{sin\alpha.cos\alpha }[/tex]
[tex]tg\alpha =\frac{a}{b }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a=b.tg\alpha=\frac{h_c}{\cancel{sin\alpha }}.\frac{\cancel{sin\alpha}}{cos\alpha }= \frac{h_c}{cos\alpha }[/tex]
[tex]r=\frac{a+b-c}{2 }=\frac{\frac{h_c}{cos\alpha }+\frac{h_c}{sin\alpha } -\frac{h_c}{sin\alpha.cos\alpha }}{2 }=\frac{h_c}{2sin\alpha.cos\alpha }\left(sin\alpha+cos\alpha-1\right)[/tex]
Ако имаш въпроси, питай...

[Martin Nikovski]

3. [tex]P=2(a+b)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]30=2(a+b)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a+b=15[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b=15-a[/tex]
[tex]sin\alpha =\frac{h_a}{b }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2}{3 } =\frac{h_a}{b }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]h_a=b.\frac{2}{ 3} =(15-a).\frac{2}{3 }=10-\frac{2}{3 } a[/tex]
[tex]S_{ABCD}=a.h_a[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]36=a.\left(10-\frac{2}{3 }a\right)[/tex]
[tex]36=10a-\frac{2}{3 }a^2[/tex] [tex]/.3[/tex]
[tex]2a^2-30a+108=0[/tex] [tex]/:2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2-15a+54=0[/tex]
Решаваме квадратното уравнение:
[tex]D=15^2-4.54=225-216=9[/tex]
[tex]a=\frac{15+\sqrt9}{2 }=\frac{15+3}{2 } =9cm[/tex] или [tex]a=\frac{15-\sqrt9}{2 } =\frac{15-3}{2 }=6cm[/tex].
[tex]S_{ABCD}=a.h_a[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]36=a.h_a[/tex]
[tex]h_a=\frac{36}{a }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]h_a=\frac{36}{9 } =4cm[/tex] или [tex]h_a=\frac{36}{6 }=6cm[/tex].

[quentos]

Опитах и други две,но и тях не успях,за едната ми е много интересно как ще се реши и тя е следната:
Отношението на лицето на правоъгълен триъгълник и лицето на квадрата със страна хипотенузата на триъгълника, е к.Да се намери сборът от тангенсите на острите ъгли на триъгълника.
Отг.1/2k
А другата е по-сложна и не знам от къде да я подхвана
В успоредник със страни а и b (a<b) и остър ъгъл алфа е вписан ромб.Двата срещулежащи върха на ромба са средите на успоредника или техни продължения.Да се намерят ъглите на ромба.
Всъщност дори самото условие не ми е ясно и по-точно фразата или техните продължения,затова ако може и чертеж към тази задача.Благодаря предварително !

[loving_math]

Опитах и други две,но и тях не успях,за едната ми е много интересно как ще се реши и тя е следната:
Отношението на лицето на правоъгълен триъгълник и лицето на квадрата със страна хипотенузата на триъгълника, е к.Да се намери сборът от тангенсите на острите ъгли на триъгълника.
Отг.1/2k

Нека триъгълникът да е със стандартните означения, а именно :
a - катет, b - катет, с - хипотенуза
По Питагорова теорема [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
Нека [tex]S_{1 }[/tex] e лицето на триъгълника, а [tex]S_{2 }[/tex] - това на квадрата.
[tex]\frac{ S_{1 }}{ S_{2 } } =k[/tex]
[tex]\frac{ S_{1 }}{ S_{2 } } =\frac{\frac{ab}{2 } }{a^2+b^2 }=k[/tex]
[tex]\frac{ab}{ 2(a^2+b^2)} =k[/tex]
[tex]tg\alpha=\frac{a}{b}[/tex]
[tex]tg\beta=\frac{b}{ a}[/tex]
[tex]tg\alpha+tg\beta =\frac{a}{b }+\frac{b}{a } =\frac{a^2+b^2}{ ab} =\frac{1}{2k }[/tex]

[quentos]

Въпpос:защо S на квадpата е a2+b2 а не е а2 както е по принцип ? Точно както ти си написал опитах,но пробвах със а2 и нищо не се получи.

[Martin Nikovski]

Защото страната на квадрата не е [tex]a[/tex], а [tex]c[/tex] (хипотенузата на правоъгълния триъгълник).
Тогава от [tex]\cyr{PT}[/tex] имаме, че [tex]c^2=a^2+b^2[/tex].