елементи на равнобедрен триъгълник

[Гост]

Основата на равнобедрен триъгъл ник е 10 cm, а височината към осно вата е 6 cm. Намерете стойностите на тригонометричните функции на ъгъла, заключен между бедрото и височината към основата.

[ammornil]

220626_001.png (8.66 KiB) Прегледано 423 пъти

[tex][/tex]
[tex]\triangle ABC, AC=BC, AB=10\ cm, CM \bot AB, CM=6\ cm[/tex]
[tex]\sin{\angle ACM}=?, \cos{\angle ACM}=?, \tg{\angle ACM }=?, \cotg{\angle ACM}=?[/tex]

[tex]\triangle AMC \cong \triangle BMC \begin{cases} AC=BC \\ CM-обща \\ \angle AMC = \angle BMC =90 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AM=MB=5\ cm \\ \angle MAC= \angle MBC= \alpha \end{cases}[/tex]

[tex]\triangle BMC \rightarrow \angle BMC =90 ^\circ \Rightarrow BC^{2}=MB^{2}+CM^{2} \Leftrightarrow BC^{2} = 5^{2}+6^{2} \Leftrightarrow BC^{2}=61 \Leftrightarrow BC=\sqrt{61}\ cm \Rightarrow AC=\sqrt{61}\ cm[/tex]

Синус
[tex]\sin{\angle ACM}= \frac{AM}{AC} \Leftrightarrow \sin{\angle ACM}= \frac{5}{\sqrt{61}}[/tex], рационализираме [tex]\rightarrow \sin{\angle ACM}= \frac{5}{\sqrt{61}}.\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}} \Rightarrow \sin{\angle ACM}=\frac{5\sqrt{61}}{61}[/tex]

Косинус
[tex]\cos{\angle ACM}= \frac{CM}{AC} \Leftrightarrow \cos{\angle ACM}= \frac{6}{\sqrt{61}}[/tex], рационализираме [tex]\rightarrow \cos{\angle ACM}= \frac{6}{\sqrt{61}}.\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}} \Rightarrow \cos{\angle ACM}=\frac{6\sqrt{61}}{61}[/tex]

За тангенс можем да подходим по два различни начина.
[tex]\tg{\angle ACM}=\frac{AM}{MC} \Leftrightarrow \tg{\angle ACM}=\frac{5}{6}[/tex]
или
[tex]\tg{\angle ACM}=\frac{\sin{\angle ACM}}{\cos{\angle ACM}} \Leftrightarrow \tg{\angle ACM}=\frac{\frac{5\sqrt{61}}{61}}{\frac{6\sqrt{61}}{61}} \Leftrightarrow \tg{\angle ACM}=\frac{5}{6}[/tex]

За котангенс можем да подходим по три различни* начина.
[tex]\cotg{\angle ACM}=\frac{CM}{AM} \Leftrightarrow \cotg{\angle ACM}=\frac{6}{5}[/tex]
или
[tex]\cotg{\angle ACM}=\frac{\cos{\angle ACM}}{\sin{\angle ACM}} \Leftrightarrow \cotg{\angle ACM}=\frac{\frac{6\sqrt{61}}{61}}{\frac{5\sqrt{61}}{61}} \Leftrightarrow \cotg{\angle ACM}=\frac{6}{5}[/tex]
или
[tex]\cotg{\angle ACM}=\frac{1}{\tg{\angle ACM}} \Leftrightarrow \cotg{\angle ACM}=\frac{1}{\frac{5}{6}} \Leftrightarrow \cotg{\angle ACM}=\frac{6}{5}[/tex]


*три, защото вече имаме пресметнат тангенс. Ако първо пресметнем котангенс, тогава третият вариант няма да е възможен, но ще имаме трети вариант за пресмятане на тангенса.

За рационализиране виж скрития текст.

Скрит текст: покажи

Процесът при който знаменателят на една дроб се преобразува от ирационален (имащ корени) към рационален (нямащ изрази с корен) се нарича рационализиране. Постига се, като числителят и знаменателят се имножават с такъв израз, че корените в знаменателя да изчезнат.
В нашата задача е достатъчно да множим корена сам по себе си, използвайки че [tex]\sqrt{a}.\sqrt{a} = a, (a \ge 0)[/tex]