От сборника на Коста Коларов

[Гост]

85C060D5-3736-4392-91F8-B970A6D01BE3.jpeg (1.33 MiB) Прегледано 585 пъти

10.47 - 10.50

[Евва]

47 зад.
Вписаният [tex]\angle[/tex]AMB=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AD[tex]\bot[/tex]BC
Имаме допирателната в т.В [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DBA=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] DB[tex]\bot[/tex]BA
Тогава [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\angle[/tex]ABC

[tex]\triangle[/tex]ADB[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC ( 1 признак )
1. [tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\angle[/tex]ABC
2. [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BAC=90[tex]^\circ[/tex]

[tex]\frac{AB}{AC}[/tex]=[tex]\frac{BD}{AB}[/tex]; AC.BD=[tex]AB^{2 }[/tex] ; AC.BD=4[tex]R^{2 }[/tex]

[S.B.]

Задача 50:

Без заглавие - 2022-08-04T144136.295.png (234.44 KiB) Прегледано 527 пъти

Дадено :
[tex]\triangle ABC[/tex] - остроъгълен,$AD$ - височина , $BE$ - ъглополовяща,[tex]AD \cap BE = O[/tex]
[tex]\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OE} = \frac{2}{1}[/tex]
Да се докаже:
[tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен
Доказателство:
[tex]\frac{AO}{OD} = \frac{2}{1} \Rightarrow AO = 2x , OD = x[/tex]
Построявам [tex]OM \bot AB , M \in AB[/tex]
[tex]AD \cap BE = O , AD \bot BC \Rightarrow OD \bot BC[/tex]
Точка [tex]O \in BE , BE[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ABC \Rightarrow OM = OD = x[/tex]
[tex]\triangle AOM[/tex] е правоъгълен, [tex]OM = x , AO = 2x \Rightarrow \angle OAM = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle ADB[/tex] е правоъгълен, [tex]\angle DAB = 30 ^\circ \Rightarrow \angle B = \angle DBA = 60 ^\circ[/tex]
$BE$ е ъглополовяща на [tex]\angle B \Rightarrow \angle ABE = EBC = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle OBD[/tex] е правоъгълен , катетът $OD = x$ лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow[/tex] хипотенузата $BO = 2x$
От [tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{BO}{OE} = \displaystyle \frac{2}{1} \\BO = 2x \end{cases} \Rightarrow OE = x \Rightarrow ОЕ = OD[/tex]
[tex]\triangle BOD \cong \triangle AOE[/tex] ( по първи признак)
[tex]\Rightarrow \angle OAE = \angle OAD = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle A = \angle OAE + \angle OAM = 30 ^\circ + 30 ^\circ = 60 ^\circ[/tex]
От[tex]\begin{cases} \angle A = 60 ^\circ \\ \angle B = 60 ^\circ \end{cases} \rightarrow \angle C = 60 ^\circ \Rightarrow ABC[/tex] е равностранен

[S.B.]

Задча 48:

Без заглавие - 2022-08-05T221914.517.png (295 KiB) Прегледано 496 пъти

Построявам [tex]BM \bot EF , BN \bot CD[/tex]
[tex]\triangle CDB \approx EFB[/tex] (по първи признак)
[tex]\angle BEA = \angle BCA[/tex] (вписани и се измерват с една и съща дъга) [tex]\Rightarrow \angle BEF = \angle BCD[/tex]
[tex]\angle BFA = \angle BDA[/tex] (вписани и се измерват с една и съща дъга) [tex]\Rightarrow \angle BDC = \angle BFE[/tex]
Страните на подобните триъгълниците се отнасят тъй както и съответните им височини :
[tex]\Rightarrow \frac{CD}{EF} = \frac{BN}{BM}[/tex]