Талес в успоредник

[prodanov]

Задачата е от Б групите в сборника на Коларов по геометрия, идеята е да се реши чрез теоремата на Талес.

От върха D на тъп ъгъл в успоредника ABCD са построени височините му DE и DF ,като E лежи на АВ, а F лежи на ВС. Да се намерят отсечките, на които се разделя диагоналът АС от тези височини, ако АЕ:ВЕ=3:8, BF:CF=3:2 и АС=28см.

Другите задачки с триъгълници ги решавам без проблем, но задачите с успоредници ме бъркат заради успоредните си страни. Ще ми помогнете страшно много ако ме насочите как да тръгна.

Мислих я почти три часа тая задача. Измислих само това:

Нека пресечната точка на височината DE(лежи на AB) с диагонала АС е Х, а пресечната точка на диагонала ВС с АС - О. Тогава АО=ОС=14см (от АС=28).
Тогава [tex]\frac{AX}{AO}=\frac{AE}{AB}[/tex]. От AE:BE=3:8 ,намираме AE:AB=3:11, AO=14. Заместваме:
[tex]\frac{AX}{14}=\frac{3}{11}[/tex]

или [tex]AX=\frac{42}{11}[/tex]

Нъцки, АХ е 6 см. според отговора. => Не прилагам правилно теоремата, бъркат ме тия 4 успоредни страни.

Извинявам се, че няма чертеж. Всякакви насоки ще бъдат от голяма помощ, мерси предварително!

П.П Двете височини образуват подобни триъгълници по първи признак(два срещуположни ъгъла+прав ъгъл), но този урок е след Талес.

[martin123456]

[tex]AC \cap DE=O_1[/tex], [tex]AC \cap DF=O_2[/tex], [tex]AC \cap BD=O[/tex].
[tex]AE=3x,EB=8x,BF=3y,FC=2y[/tex].
[tex]\Delta AO_1E \sim \Delta CO_1D \Rightarrow \frac{AO_1}{O_1C}=\frac{3}{11}[/tex]
[tex]\Delta FO_2C \sim \Delta DO_2A \Rightarrow \frac{AO_2}{O_2C}=\frac{5}{2}[/tex]
значи [tex]AO_1=3z[/tex], [tex]O_1C=11z[/tex] [tex]\Rightarrow AC=14z[/tex], [tex]AO=7z \Rightarrow O_1O=4z[/tex].
[tex]AO_2=7z+OO_2[/tex], [tex]O_2C=7z-OO_2[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{7z+OO_2}{7z-OO_2}=\frac{5}{2} \Rightarrow OO_2=3z[/tex][tex]\Rightarrow AO_1=3z[/tex], [tex]O_1O_2=7z[/tex], [tex]O_2C=4z[/tex].
[tex]AC=28=14z \Rightarrow z=2[/tex]

[prodanov]

Мерси!

Явно с подобие ще ги решавам.