Решаване на системи уравнения от 2ра степен чрез полагане

[Гост]

Здравейте, ще се радвам ако ми помогнете с тези две задачи за решаване на системи!

Задача 1
|(х+у)² - 5(х+у) =-4
|х² +4у=4

Задача 2
|х/у - у/х = 5/6
|х²-у²=5


(С х/у съм отбелязала дробта х върху у)

[ammornil]

Задача 1
|(х+у)² - 5(х+у) =-4
|х² +4у=4

Първото уравнение може да се сведе до по-просто уравнение. Нека [tex]x+y=u \Rightarrow (x+y)^{2}-5(x+y)+4=0 \Leftrightarrow u^{2}-5u+4=0[/tex]
За всяко намерено [tex]u[/tex] решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} y = u-x \\ x^{2}+4x-4u-4 = 0 \end{array}[/tex] и намираме решение на търсената система (ако съществува).

Скрит текст: покажи

[tex]u_{1,2}=\frac{5\mp\sqrt{(-5)^{2}-4.1.4}}{2.1}=\frac{5\mp3}{2}[/tex]

[tex]u_{1}=1 \Rightarrow \begin{array}{|l} y=1-x \\ x^{2}+4x-8 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y=1-x \\ x_{1,2}=\frac{-2\mp\sqrt{(-2)^{2}-1.(-8)}}{1}=-2\mp2\sqrt{3} \end{array} \Rightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x_{1}=-2-2\sqrt{3} \\ y_{1}=1-(-2-2\sqrt{3}) \end{array} \hspace{5em} \cup \begin{array}{|l} x_{1}=-2+2\sqrt{3} \\ y_{1}=1-(-2+2\sqrt{3}) \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x_{1}=-2-2\sqrt{3} \\ y_{1}=3+2\sqrt{3} \end{array} \hspace{5em} \cup \begin{array}{|l} x_{1}=-2+2\sqrt{3} \\ y_{1}=3-2\sqrt{3} \end{array}[/tex]

[tex]u_{2}=4 \Rightarrow \begin{array}{|l} y=4-x \\ x^{2}+4x-20 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y=4-x \\ x_{3,4}=\frac{-2\mp\sqrt{(-2)^{2}-1.(-20)}}{1}=-2\mp2\sqrt{6} \end{array} \Rightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x_{3}=-2-2\sqrt{6} \\ y_{3}=4-(-2-2\sqrt{6}) \end{array} \hspace{5em}\cup \begin{array}{|l} x_{4}=-2+2\sqrt{6} \\ y_{4}=4-(-2+2\sqrt{6}) \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x_{3}=-2-2\sqrt{6} \\ y_{3}=6+2\sqrt{6} \end{array} \hspace{5em}\cup \begin{array}{|l} x_{4}=-2+2\sqrt{6} \\ y_{4}=6-2\sqrt{6} \end{array}[/tex]

Задача 2
|х/у - у/х = 5/6
|х²-у²=5
[tex]x \ne 0, y \ne 0[/tex]
Подобно на предната задача, ако положим [tex]\frac{x}{y}=u \ne 0 \Rightarrow \frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6} \Leftrightarrow \underbrace{u-\frac{1}{u}=\frac{5}{6}}_{6u} \Leftrightarrow 6u^{2}-5u-6=0[/tex]
За всяко намерено [tex]u[/tex] решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} x=u.y \\ (u^{2}-1)y^{2}-5=0 \end{array}[/tex] и намираме решение на търсената система (ако съществува).

Скрит текст: покажи

[tex]u_{1,2}=\frac{5\mp\sqrt{(-5)^{2}-4.6.(-6)}}{2.6}=\frac{5\mp13}{12}[/tex]

[tex]u_{1}=\frac{-8}{12}=-\frac{3}{4} \rightarrow \begin{array}{|l} x=-\frac{3}{4}.y \\ \left(\frac{9}{16}-1\right)y^{2}-5=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=-\frac{3}{4}.y \\ -\frac{7}{16}y^{2}=5 \end{array}[/tex]
Второто уравнение няма решения, защото [tex]y^{2}[/tex] е винаги положително, умножено по отрицателна дроб не може да даде плюс пет, слеодвателно нямаме решение от [tex]u_{1}[/tex]

[tex]u_{2}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2} \rightarrow \begin{array}{|l} x=\frac{3}{2}.y \\ \left(\frac{9}{4}-1\right)y^{2}-5=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=\frac{3}{2}.y \\ \frac{5}{4}y^{2}=5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=\frac{3}{2}.y \\ y^{2}=4 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y_{1}=-2 \\ x_{1}=-3 \end{array} \hspace{5em}\cup \begin{array}{|l} y_{2}=2 \\ x_{2}=3 \end{array}[/tex]

[Евва]

За 1 зад. получавам отговор (0 ;1) и (4 ;-3) .

[mail_dinko]

След намиране на [tex]u_1=1;u_2=4[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x + y = 1 \Rightarrow y = 1-x \\ x^2+4y=4 \Rightarrow x^2+\cancel {4}-4x=\cancel {4} \end{array}[/tex]
[tex]x_1 = 0 \Rightarrow y_1 = 1 \Rightarrow (0;1)[/tex]
[tex]x_2 = 4 \Rightarrow y_2 = -3 \Rightarrow (4;-3)[/tex]

[ammornil]

Да, прави сте. Изпуснал съм еднин свободен член във второто уравнение на оригиналната система.

[Евва]

Ето още една идея за 2 зад.
[tex]\begin{array}{|l} \frac{х}{у} -\frac{у}{х} = \frac{5}{6} \\ x^{2 } -у^{2 } = 5 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{(х-у)(х+у)}{ху} = \frac{5}{6} \\ (x - y)(х+у) = 5 \end{array}[/tex]
полагаме х-у=а , х+у=b ,xy=c
Забелязваме ,че [tex]а^{2 } -b^{2}[/tex]= -4c
[tex]\begin{array}{|l} \frac{ab}{c} = \frac{5}{6}\\ab=5 \\ a^{2 } - b^{2 } = -4c \end{array}[/tex]
Решаваме с-та и получаваме (1 ;5 ;5) и (-1 ;-5 ; 5) .

[tex]\begin{array}{|l} x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{array}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} x -y = -1 \\ x + y = -5 \end{array}[/tex]

Отг. (3;2) и ( -3;-2)