Подобни триъгълници

[Гост]

Здравейте! Моля за помощ за следните задачи.

[Евва]

98 зад. Нека правата CL пресича АВ в т.Р . Да означим BL=DF=a ,FL=b .
[tex]\triangle[/tex]ABF[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]FCD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{BF}{DF}[/tex] ; [tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{a+b}{a}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]PBL[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]LCD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{PB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{BL}{DL}[/tex] ;[tex]\frac{AB-CD}{CD}[/tex]=[tex]\frac{a}{a+b}[/tex] ;[tex]\frac{AB}{CD}[/tex] -1=[tex]\frac{a}{a+b}[/tex]

[tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=1 +[tex]\frac{1}{ \frac{a+b}{a} }[/tex] ползваме (1)

[tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=1 +[tex]\frac{1}{ \frac{AB}{CD} }[/tex]
[tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=x=?

x=1+[tex]\frac{1}{x}[/tex] ; [tex]x^{2 }[/tex]-x-1=0 ; D=1+4=5 ; [tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{1 \pm \sqrt{5} }{2}[/tex] [ отговор [tex]\frac{1- \sqrt{5} }{2}[/tex] <0 и отпада ]
x=[tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{1+ \sqrt{5} }{2}[/tex]

[Евва]

100 зад. Нека С[tex]С_{1 }[/tex] е медиана и т.G е медицентър . Построяваме през т.С права с||AB .
Нека правата КМ пресича правата АВ в т.Т и пресича правата с в т.Р .
Да означим CG=2x ,[tex]C_{1 }[/tex]G=x ,A[tex]C_{1 }[/tex]=B[tex]C_{1 }[/tex]=t ,BT=y .

[tex]\triangle[/tex][tex]C_{1 }[/tex]TG[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]GCP (1 признак) [tex]\frac{G C_{1 } }{GC}[/tex]=[tex]\frac{ C_{1 }T }{CP}[/tex] ; [tex]\frac{x}{2x}[/tex]=[tex]\frac{t+y}{CP}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] CP=2(t+y) (1)

[tex]\triangle[/tex]ATK[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]KCP (1 признак ) [tex]\frac{AK}{KC}= \frac{AT}{PC}[/tex] ;[tex]\frac{AK}{KC}[/tex]=[tex]\frac{2t+y}{2(t+y)}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]BTM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MCP (1 признак) [tex]\frac{BM}{MC}[/tex]=[tex]\frac{BT}{PC}[/tex] ;[tex]\frac{BM}{MC}[/tex]=[tex]\frac{y}{2(t+y)}[/tex] (3)

[tex]\frac{AK}{KC}[/tex]+[tex]\frac{BM}{MC}[/tex] =[tex]\frac{2t+y}{2(t+y)}[/tex] +[tex]\frac{y}{2(t+y)}[/tex] =[tex]\frac{2(t+y)}{2(t+y)}[/tex] =1

[Евва]

97 зад. Нека средите на отсечките CL и AC са съответно т.N и т.Р .
През т.С построяваме права с||AB .
Нека правите АК и МК пресичат правата с съответно в т.F и т.E .
Да означим AM=BL=x ,AL=y ,AN=a ,KN=b .
[tex]\frac{AL}{BL}[/tex]=[tex]\frac{y}{x}[/tex]= ?

[tex]\triangle[/tex]ALN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]NFC ( 2 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] AL=CF=y и AN=FN=a .Тогава KF=FN-KN =a-b .
[tex]\triangle[/tex]MAP[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]PEC ( 2 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] МА=СЕ=х .

[tex]\triangle[/tex]ABK[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]KFC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{CF} =\frac{AK}{KF}[/tex] ; [tex]\frac{x+y}{y}[/tex]=[tex]\frac{a+b}{a-b}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]MAK[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]KEF (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{EF}[/tex]=[tex]\frac{AK}{KF}[/tex] ;[tex]\frac{x}{x-y}[/tex]=[tex]\frac{a+b}{a-b}[/tex] (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{х+у}{у}[/tex]=[tex]\frac{х}{х-у}[/tex] ;[tex]x^{2 }[/tex]-[tex]у^{2 }[/tex]=ху ; [tex]у^{2 }[/tex]+ху-[tex]x^{2 }[/tex] =0
делим на [tex]x^{2 }[/tex][tex]\ne[/tex]0
([tex]\frac{у}{х}) ^{2 }[/tex]+[tex]\frac{у}{х}[/tex] -1 =0 ; D=1+4=5 ;([tex]\frac{y}{x}) _{1,2}[/tex]= [tex]\frac{-1 \pm \sqrt{5} }{2}[/tex]

[tex]\frac{y}{x}[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{5}-1 }{2}[/tex]