Дължина на отсечка в триъгълник

[Гост]

Cтраните на триъгълник ABC ca AB=18см, BC=12см и AC=8см. Ако точката Q лежи на AB и е такава, че BQ = 8см, то дължината на отсечката CQ в сантиметри е?

[Евва]

Задачата може да се реши като се използва само Питагорова теорема .
Получих CQ=[tex]\frac{16}{3}[/tex] см.

[Евва]

Построяваме височината СН . Нека CH=h и AH=y .
CQ=?
([tex]\triangle[/tex]АНС-правоъг.) [tex]h^{2 } +y^{2}=8^{2}[/tex] (1)
([tex]\triangle[/tex]НВС-правоъг.) [tex]h^{2 } +(18-y)^{2 }[/tex] =[tex]12^{2 }[/tex]

[tex]h^{2 }[/tex]= 64-[tex]y^{2 }[/tex] и [tex]h^{2 }[/tex]=144-324+36y-[tex]y^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
64-[tex]y^{2 }[/tex]= -180+36y-[tex]y^{2 }[/tex] ; y=[tex]\frac{61}{9}[/tex] (2)

Скрит текст: покажи

Връщаме се към (1) .

[tex]h^{2 }[/tex]+[tex]\frac{3 721}{81}[/tex]=64 ;[tex]h^{2 }[/tex]=[tex]\frac{1 463}{81}[/tex] (3)

AH+HQ=AQ ; [tex]\frac{61}{9}[/tex]+HQ=10 ; HQ=[tex]\frac{29}{9}[/tex] (4)
([tex]\triangle[/tex]HQC-правоъг.) [tex]CH^{2 } +HQ^{2}=CQ^{2}[/tex] ; [tex]\frac{1463}{81}[/tex]+[tex]\frac{841}{81}[/tex]=[tex]CQ^{2 }[/tex] ; CQ=[tex]\sqrt{ \frac{2 304}{81} }[/tex]=[tex]\frac{48}{9}[/tex]= [tex]\frac{16}{3}[/tex] см.

[Гост]

Също става с косинусова теорема за триъгълници AQC и BQC.