Трапец

[Гост]

Здравейте! Моля за помощ за една задача.

Трапецът ABCD с основи AB=32cm u CD=8см е вписан в окръжност. Ако в трапеца може да се впише окръжност, да се намерят:
а)Лицето на трапеца;
б) радиусът на вписаната окръжност в трапеца;
в) радиусът на описаната окръжност около трапеца.

[ammornil]

Здравейте! Моля за помощ за една задача.

Трапецът ABCD с основи AB=32cm u CD=8см е вписан в окръжност. Ако в трапеца може да се впише окръжност, да се намерят:
а)Лицето на трапеца;
б) радиусът на вписаната окръжност в трапеца;
в) радиусът на описаната окръжност около трапеца.

230205_002.png (20.56 KiB) Прегледано 380 пъти

От това, че трапецът е вписан следва, че е равнобедрен. [tex]AD=BC[/tex]

От това, че трапецът е описан следва, че сборовете от срещулежащите му страни са равни. [tex]AB+CD=AD+BC[/tex]

[tex]\because AD=BC \Rightarrow 2AD=AB+CD \Leftrightarrow AD=\frac{AB+CD}{2} \Leftrightarrow AD=BC=20\> [cm][/tex]

Построяваме [tex]\begin{cases}DD_{1} \bot AB \\ CC_{1} \bot AB \end{cases}, DD_{1}=CC_{1}=h_{тр} \Rightarrow DD_{1}C{1}C -\text{ правоъгълник} \Rightarrow D_{1}C_{1}=DC=8\> [cm][/tex]
[tex]\triangle AD_{1}D \cong \triangle BC_{1}C \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ AD=BC \\ DD_{1}=CC_{1} \end{cases} \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=x[/tex]

[tex]AD_{1}+D_{1}C_{1}+C_{1}B=AB \Leftrightarrow x+8+x=32 \Leftrightarrow 2x=24 \Leftrightarrow x=12\> [cm] \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=12\>[cm][/tex]

[tex]\triangle AD_{1}D -\text{ правоъгълен } \Rightarrow AD^{2}=AD_{1}^{2}+DD_{1}^{2} \Rightarrow DD_{1}^{2}=AD^{2}-AD_{1}^{2} \Leftrightarrow DD_{1}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{256}=16\> [cm] -\text{ височина на трапеца}[/tex]

$$ \text{(а)} \hspace{2em} S_{тр}=\frac{AB+CD}{2}.h{тр}=\frac{32+8}{2}.16=40.8=320\> [cm^{2}] $$

Нека центърът на вписаната в трапеца окръжност е точката [tex]O_{1}[/tex] и точките на допиране до основите [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] са съответно [tex]M_{1}[/tex] и [tex]M[/tex]. Понеже основите на трапеца са допирателни към окръжността, то [tex]\begin{cases} O_{1}M_{1} \bot AB \\ O_{1}M \bot CD \end{cases}[/tex]. Понеже основите на трапеца са успоредни помежду си, то следва че двата радиуса [tex]O_{1}M_{1}[/tex] и [tex]O_{1}M[/tex] лежат на един диаметър, перпендикулярен на двете основи, следователно [tex]MM_{1}[/tex] е височина на трапеца [tex]\Rightarrow MM_{1}=2.r_{вп} \Rightarrow[/tex]
$$ \text{(б)} \hspace{2em} r_{вп}=\frac{h{тр}}{2}=\frac{16}{2}=8\> [cm] $$

[tex]\sin{\angle ABC}=\frac{CC_{1}}{BC}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5} \Rightarrow \cos{\angle ABC} = \sqrt{1-\sin^{2}{\angle ABC}}=\frac{3}{5}[/tex]

[tex]\text{Косинусова теорема за } \triangle ABC : \hspace{2em} AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2.AB.BC.\cos{\angle ABC} \Leftrightarrow AC^{2}=32^{2}+20^{2}-2.32.20.\frac{3}{5} \Leftrightarrow AC^{2}=656 \Rightarrow AC=4\sqrt{41}\> [cm][/tex]

[tex]S_{ \triangle ABC}=\frac{AB.CC_{1}}{2}=\frac{32.16}{2}=256\> [cm^{2}][/tex]

Описаната около трапеца окръжност е описаната около триъгълника [tex]ABC[/tex].
[tex]S_{ \triangle ABC}=\frac{AB.BC.AC}{4.R_{оп}} \Rightarrow[/tex]
$$ \text{(в)} \hspace{2em} R_{оп}=\frac{AB.BC.AC}{4.S_{ \triangle ABC}}=\frac{32.20.4.\sqrt{41}}{4.256}=\frac{2^{5}.2^{2}.5.2^{2}.\sqrt{41}}{2^{2}.2^{8}}=\frac{5\sqrt{41}}{2}\> [cm] $$

[mail_dinko]

При стандартен чертеж решаваме задачата по следния начин
От това,че е вписан трапец - следва, че е равнобедрен.
От това, че е описан трапец - следва, че сборът на основите е равен на удвоеното бедро
[tex]AD=BC = \frac {AB+CD}{2}= 20=c[/tex]
Построяваме [tex]DH \bot AB : H \in AB[/tex]
При равнобедрения трапец [tex]AH = \frac {AB-CD}{2}=12[/tex]
От теорема на Питагор намираме височината в трапеца [tex]DH = \sqrt {AD^2-AH^2}= 16[/tex]
[tex]S= \frac {AB+CD}{2}.DH= 320[/tex]
Намираме радиус на вписаната окр. [tex]r = 0,5DH=8[/tex]
Радиус на описаната окръжност около трапеца всъщност е радиус на описаната окр. около един от триъгълниците, които се получават при построяване на диагонал напр DB
[tex]\triangle AHD \Rightarrow cos \angle HAD = \frac {AH}{AD} =\frac 35[/tex]
Косинусова теорема за [tex]\triangle ABD[/tex]
[tex]DB^2 = AB^2+AD^2-2AD.AB.cos \angle BAD \Leftrightarrow DB= \sqrt {1024+400-2.32.20.\frac {3}{5}}[/tex]
[tex]DB= \sqrt {1424-2.32.4.3} \Leftrightarrow DB= \sqrt {1424-2.32.4.3}\Rightarrow DB = 4 \sqrt {41}[/tex]
[tex]R = \frac {AB.BD.AD}{4S}= \frac {32.\cancel{4}. \sqrt {41}.20}{\cancel{4}.256}\Rightarrow R = \frac52 \sqrt {41}[/tex]