Подобни триъгълници Помогнете

[Гост]

Зад.1
В осторъгълен триъгълник ABC страните АС=12см, ВС=15см и височината към третата страна е СН =10см. Намерете радиуса на описаната окръжност.
Зад.2
Докажете, че разстоянието от медицентъра до страната на триъгълника е 3 пъти по-малко от височината на триъгълника към тази страна.

(Ще съм много благодарна ако ми помогнете с решението, но все още сме взели само 1вия признак на подобност на триъгълници.!)

[Гост]

Искам и да попитам на 1ва задача б) мога ли да кажа, че правите NM и AB са успоредни и така да напиша, че някой друг ъгъл е равен, освен дадените N и B. Благодаря!

[Евва]

1 зад. Докажете ,че [tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MNC .
б) (1 начин) Гост ,разбрах идеята .
Като пострим правите АВ , MN и BN , виждаме ,че [tex]\angle[/tex]ABN и [tex]\angle[/tex]BNM са вътрешно кръстни .
От това ,че кръстните ъгли са равни [tex]\Rightarrow[/tex] AB||MN .
От AB||MN [tex]\Rightarrow[/tex] другата двойка вътрешно кръстни ъгли също са равни т.е. [tex]\angle[/tex]MAB=[tex]\angle[/tex]AMN
По 1 признак [tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MNC

(2 начин) [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]MNC (дадено е)
[tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\angle[/tex]MCN (връхни ъгли)
По 1 признак [tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MNC

[Евва]

зад.3 R=?
([tex]\triangle[/tex]АНС -правоъгълен) [tex]АН^{2 } +СН^{2}=AC^{2}[/tex] ; [tex]AH^{2 }[/tex]+100=144 ; AH=[tex]\sqrt{44}[/tex] см.
([tex]\triangle[/tex]НВС-правоъгълен) [tex]HB^{2 }+CH^{2}=BC^{2}[/tex] ; [tex]HB^{2 }[/tex]+100=225 ; HB=[tex]\sqrt{125}[/tex] см.

[tex]S_{AHC }[/tex]+[tex]S_{HBC }[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex]

[tex]\frac{AH.CH}{2}[/tex]+[tex]\frac{BH.CH}{2}[/tex] = [tex]\frac{AB.BC.AC}{4R}[/tex]

[tex]\frac{10 \sqrt{44} }{2}[/tex] +[tex]\frac{10 \sqrt{125} }{2}[/tex] =[tex]\frac{( \sqrt{44} + \sqrt{125} ).15.12}{4R}[/tex]

5( [tex]\sqrt{44}[/tex]+[tex]\sqrt{125}[/tex] )=[tex]\frac{( \sqrt{44} +\sqrt{125} ).45}{R}[/tex]

R=[tex]\frac{45}{5}[/tex] =9 см.

[Евва]

4 зад. Да построим СН -височина и СМ -медиана в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Отбелязваме т.G -медицентърът на [tex]\triangle[/tex]АВС .
Нека т.Р лежи на отсечката АВ така ,че GP[tex]\bot[/tex]АВ .

Скрит текст: покажи

Разстоянието от медицентъра до страната АВ е GP .

Иска се да докажем ,че GP=[tex]\frac{CH}{3}[/tex] .

[tex]\triangle[/tex]PMG[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]HMC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{GP}{CH}[/tex]=[tex]\frac{GM}{CM}[/tex] ; [tex]\frac{GP}{CH}[/tex]=[tex]\frac{GM}{CG+GM}[/tex]

Скрит текст: покажи

Прочетете Уикипедия за Медицентър .

[tex]\frac{GP}{CH}[/tex]=[tex]\frac{GM}{2GM+GM}[/tex] ; [tex]\frac{GP}{CH} =\frac{GM}{3GM}[/tex] ; 3GP=CH

GP=[tex]\frac{CH}{3}[/tex]