Отношение

[Гост]

За [tex]\triangle ABC[/tex] е дадено , че [tex]\angle C = 90 ^\circ , \angle B = 30 ^\circ[/tex]
Точките $Q$ и $O$ лежат на страната $BC$
Описана е окръжност $k(O, 2r = CQ)$ ,която се допира до $AB$ в точка $M$.
$AQ$ пресича $k$ в т.$P$
Да се определи отношението [tex]\frac{AP}{PQ} = ?[/tex]

[Гост]

Ще се научите ли да бъдете възпитани при задаването на въпросите?

[Евва]

От [tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] диаметърът CQ [tex]\bot[/tex] правата АС [tex]\Rightarrow[/tex] окр.К се допира до правата АС в т.С ,което значи ,че окр.К е вписана в [tex]\angle[/tex]ВАС .
Заключение т.О лежи на ъглополовящата АО .
Тогава [tex]\triangle[/tex]АОС е правоъгълен с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] ; СО=r ,AO=2CO=2r
(Питагор) [tex]AC^{2 } +CO^{2 }=AO^{2}[/tex] ; [tex]AC^{2 }+r^{2}[/tex]=4[tex]r^{2 }[/tex] ; AC=r[tex]\sqrt{3}[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]AQC-правоъг.) [tex]AC ^{2 }+ QC^{2 }= AQ^{2 }[/tex] ; 3[tex]r^{2 } +4r^{2 }=AQ^{2}[/tex] ;AQ=r[tex]\sqrt{7}[/tex] (2)

Тъй като правата AQ пресича окр.К в две точки и отс.АС се допира до окр.К ,то използваме формулата
AP.AQ=[tex]AC^{2 }[/tex] ;AP.r[tex]\sqrt{7}[/tex]=3[tex]r^{2 }[/tex] ;AP=[tex]\frac{3 \sqrt{7}r }{7}[/tex] (3)

Последно AP+PQ=AQ ; [tex]\frac{3 \sqrt{7}r }{7}[/tex] +PQ=[tex]\frac{r \sqrt{7} }{1}[/tex] ;PQ=[tex]\frac{4 \sqrt{7}r }{7}[/tex] (4)

[tex]\frac{AP}{PQ}= \frac{ \frac{3 \sqrt{7}r }{7} }{ \frac{4 \sqrt{7}r }{7} }[/tex] =[tex]\frac{3}{4}[/tex]

[S.B.]

За [tex]\triangle ABC[/tex] е дадено , че [tex]\angle C = 90 ^\circ , \angle B = 30 ^\circ[/tex]
Точките $Q$ и $O$ лежат на страната $BC$
Описана е окръжност $k(O, 2r = CQ)$ ,която се допира до $AB$ в точка $M$.
$AQ$ пресича $k$ в т.$P$
Да се определи отношението [tex]\frac{AP}{PQ} = ?[/tex]

Без заглавие - 2023-02-16T220559.108.png (238.89 KiB) Прегледано 2599 пъти

Още един поглед върху задачата;
В тази задача има достатъчно правоъгълни триъгълници и аз искам да дам решение в което да използвам само техните свойства,както и Питагоровата теорема.Струва ми се,че именно това е целта на тази домашна работа

1)
[tex]\triangle MOB[/tex] е правоъгълен.
$M$ е допирната точка на окръжността със страната [tex]AB \Rightarrow OM \bot AB[/tex]
$OM = r$ и лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow OB = 2r[/tex][tex]P[/tex]
$$\Rightarrow CB = 3r$$

2)
[tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен по условие
$AC$ лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow AB = 2AC[/tex]
Нека $AC = x , AB = 2x$
Прилагам Питагорова теорема:
[tex]AB^{2 } = AC^{2 }+ BC^{2 } \Leftrightarrow 4x^{2 } = x^{2 } + 9r^{2 } \Leftrightarrow 3x^{2 }= 9r^{2 } \Leftrightarrow x^{2 }= 3 r^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow x = r\sqrt{3} \Leftrightarrow AC = r\sqrt{3} $$
3)
[tex]\triangle AQC[/tex] е правоъгълен.Прилагам Питагорова теорема:
[tex]AQ^{2 } = AC^{2 } + QC^{2 } \Leftrightarrow AQ^{2 } = 3r^{2 } + 4r^{2 } \Leftrightarrow AQ^{2 } = 7 r^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow AQ = r\sqrt{7} $$
т.[tex]P \in k , CQ = 2r \Rightarrow \angle CPQ = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow CP \bot AQ, AP[/tex] и $PQ$ са проекции съответно на катетите $AC$ и $QC$ на [tex]\triangle ACQ[/tex]
Прилагам следствие на Питагоровата теорема:
[tex]AC^{2 } = AQ.AP \Leftrightarrow 3 r^{2 } = r \sqrt{7}.AP[/tex]
$$\Rightarrow AP = \frac{3r}{ \sqrt{7} } $$
[tex]CQ^{2 } = AQ.PQ \Leftrightarrow 4r^{2 } = r \sqrt{7}.PQ[/tex]
$$ \Rightarrow PQ = \frac{4r}{ \sqrt{7} } $$
$$\displaystyle\frac{AP}{PQ} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3r}{ \sqrt{7} } }{\displaystyle \frac{4r}{ \sqrt{7} } } = \displaystyle\frac{3}{4} $$

[Гост]

Добър ден имам въпроси за задачи от учебника:
8. Върху страната AB на триъгълник ABC е взета точка P така че AP:PB=3:1. През P е прекарана права успоредна на BC, която пресича AC в точка Q. Намерете лицето на триъгълник APQ, ако лицето на триъгълник ABC е 64 dm².
5. Триъгълник ABC има лице 80 см². Средите на страните BC, CA, AB са съответно A1, B1, C1. Намерете лицето на триъгълник A1B1C1.
Предварително благодаря!

[Nixel]

Добър ден имам въпроси за задачи от учебника:
8. Върху страната AB на триъгълник ABC е взета точка P така че AP:PB=3:1. През P е прекарана права успоредна на BC, която пресича AC в точка Q. Намерете лицето на триъгълник APQ, ако лицето на триъгълник ABC е 64 dm².
5. Триъгълник ABC има лице 80 см². Средите на страните BC, CA, AB са съответно A1, B1, C1. Намерете лицето на триъгълник A1B1C1.
Предварително благодаря!

[Nixel]

Даден е равнобедрен АВС (СА = СВ) и СА: АВ = 13:10. Височината CD е равен на на 24 см. Намерете:

а) радиуса на вписаната в триъгълника окръжност;

б) разстоянието между медицентъра и центъра на вписаната в триъгълника окръжност.