равнобедрем трапец

[Гост]

В равнобедрен трапец дължините на основата са 4 см и 10 см, а бедрото е 5 см. Дължината на диагонала на трапеца в см е?

[ammornil]

В равнобедрен трапец дължините на основата са 4 см и 10 см, а бедрото е 5 см. Дължината на диагонала на трапеца в см е?

Screenshot 2023-04-13 112555.png (18.84 KiB) Прегледано 537 пъти

[tex]\begin{cases} DD_{1} \bot AB, (D_{1}\in AB) \\ CC_{1} \bot AB, (C_{1}\in AB) \\ DD_{1}=CC_{1} \text{ височини на трапеца} \end{cases} \Rightarrow DD_{1}C_{1}C-\text{ правоъгълник } \Rightarrow D_{1}C_{1}=DC=4[cm][/tex]

[tex]\triangle{AD_{1}D} \cong \triangle{BC_{1}C} \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ DD_{1}=CC_{1} \\ AD=BC \end{cases} \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=x[/tex]

[tex]AB=AD_{1}+D_{1}C_{1}+C_{1}B \Leftrightarrow AB=x + CD + x \Rightarrow 2x= AB-CD \Rightarrow x=\frac{AB-CD}{2}=\frac{10-4}{2}=3[cm] \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=3[cm][/tex]

[tex]\triangle{AD_{1}D}, \angle{AD_{1}D}=90^{\circ} \Rightarrow AD^{2}=AD_{1}^{2}+DD_{1}^{2} \Rightarrow DD^{2}_{1}=AD^{2}-AD^{2}_{1} \Rightarrow DD_{1}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4[cm] (\text{като следствие от това излиза, че } DD_{1}C_{1}C \text{ е квадрат.})[/tex]

[tex]BD_{1}=BC_{1}+C_{1}D_{1}=3+4=7[cm][/tex]

[tex]\triangle{BD_{1}D}, \angle{BD_{1}D}=90^{\circ} \Rightarrow BD^{2}=BD^{2}_{1}+DD^{2}_{1} \Rightarrow BD^{2}=7^{2}+4^{2}=65 \Rightarrow[/tex] $$ BD=\sqrt{65}[cm] $$