задачи по тригонометрия за 9 клас

[Гост]

Моля ако можете помогнете със следните задачи
1. Да се докаже тъждеството 1/sin[tex]\alpha[/tex]-cotg[tex]\alpha[/tex]=tg([tex]\alpha[/tex]/2)
2. Да се намери sin[tex]\alpha[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex], ако sin2[tex]\alpha[/tex]=m, m[tex]\in[/tex](0;1)
3. Да се намери tg([tex]\alpha[/tex]/2), ако sin[tex]\alpha[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\sqrt{7}[/tex]/2, [tex]\alpha \in[/tex](0 градуса;90градуса)

[Евва]

1 зад. [tex]\frac{1}{sin \alpha }[/tex] -cotg[tex]\alpha[/tex] = ? tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]\frac{1}{sin \alpha } - \frac{cos \alpha }{sin \alpha }[/tex] =

[tex]\frac{1-cos \alpha }{sin \alpha }[/tex]=

=[tex]\frac{1-cos[ 2. \frac{ \alpha }{2} ] }{sin[2. \frac{ \alpha }{2} ] }[/tex]=

=[tex]\frac{1- [1-2 sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} ]}{2sin \frac{ \alpha }{2}.cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex]=

=[tex]\frac{1-1+2 sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{2sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex]=

=[tex]\frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} }[/tex]=

=tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]

2 зад. sin[tex]\alpha[/tex] +cos[tex]\alpha[/tex] =?
sin 2[tex]\alpha[/tex]=m ,m[tex]\in[/tex](0;1)
2sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]=m (Ще използваме това.)

Започваме от [tex]sin^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex] =1

[tex]( sin \alpha +cos \alpha )^{2 }[/tex] -2sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex] =1

[tex](sin \alpha +cos \alpha )^{2 }[/tex] -m =1
... ... ...
Сигурна съм ,че Гост ще успее да завърши решението .

[S.B.]

Моля ако можете помогнете със следните задачи
3. Да се намери tg([tex]\alpha[/tex]/2), ако sin[tex]\alpha[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\sqrt{7}[/tex]/2, [tex]\alpha \in[/tex](0 градуса;90градуса)

Струва ми се,че задачите не са за 9 клас.
Колежката Евва е използвала формула за удвоен ъгъл,която се изучава по- късно.Аз също ще използвам формули,които не се изучават в 9 клас.Със знанията от 9 клас тези задачи не могат да се решат.

[tex]\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{ \sqrt{7} }{2}[/tex] ,да се определи [tex]\tg \frac{ \alpha }{2} = ?, \alpha \in (0; 90 ^\circ)[/tex]

Ще използвам следните формули:
$$\sin \alpha = \displaystyle\frac{2\tg \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} } ; \cos \alpha = \displaystyle \frac{1 - \tg^{2 }
\frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }$$
[tex]\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{ \sqrt{7} }{2} \Leftrightarrow \frac{2\tg \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }+ \frac{1 - \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} } = \frac{ \sqrt{7} }{2} \Leftrightarrow \frac{2\tg \frac{ \alpha }{2} + 1 - \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }= \frac{ \sqrt{7} }{2}[/tex]
Полагам [tex]\tg \frac{ \alpha }{2} = t[/tex]
[tex]\alpha \in (0;90 ^\circ ) \Rightarrow \tg \frac{ \alpha }{2}>0 \Rightarrow t>0[/tex]
Замествам и получавам:
[tex]\frac{2t + 1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } } = \frac{ \sqrt{7} }{2} \Leftrightarrow 4t + 2 - 2 t^{2 } = \sqrt{7} + \sqrt{7} t^{2 } \Leftrightarrow .....[/tex]
[tex](2 + \sqrt{7}) t^{2 } - 4t - (2 - \sqrt{7}) = 0[/tex]
[tex]D = 16 + (2 + \sqrt{7})(2 - \sqrt{7}) = 16 + 4(4 - 7) = 16 -12 = 4[/tex]
[tex]t_{1,2 } = \frac{4 \pm 2 }{2(2 + \sqrt{7} )}[/tex]
[tex]t_{1 } = \frac{3}{2 + \sqrt{7} } >0[/tex] , [tex]t_{2 } = \frac{1}{2 + \sqrt{7} } >0[/tex]
$$\Rightarrow \tg_{1 } \frac{ \alpha }{2} = \frac{3}{2 + \sqrt{7} } ; \tg_{2 } \frac{ \alpha }{2} = \frac{1}{2 + \sqrt{7} } $$