Метрични зависимости между отсечки ПОМОЩ

[Гост]

1. В правоъгълен ABC (<С=90°) отсечката BL (L принадлежи към AC) е ъглополовяща на <В и дели катета АС на отсечки AL = 3 см и CL = 2 cm. Намерете дължината на BL (в см).

2. Трапецът ABCD с бедро BC = √6 см е вписан в окръжност с диаметър AB = 6 cm. Намерете лицето на трапеца (в кв.см).

10. Катетите в правоъгълен триъгълник са 18 cm и 24 см. От върха на правия ъгъл са прекарани височината и ъглополовящата към хипотенузата. Намерете дължините на отсечките, на които се разделя хипотенузата.

[ammornil]

1. В правоъгълен ABC (<С=90°) отсечката BL (L принадлежи към AC) е ъглополовяща на <В и дели катета АС на отсечки AL = 3 см и CL = 2 cm. Намерете дължината на BL (в см).

Screenshot 2023-05-15 200003.png (17.41 KiB) Прегледано 2954 пъти

[tex]AC=5cm, BC=a, AB=c \Rightarrow c^{2}-a^{2}=5^{2}, \hspace{3.2em} \frac{AL}{CL}=\frac{AB}{BC} \Rightarrow c=\frac{3}{2}a[/tex]

[tex]c^{2}-a^{2}=25 \Leftrightarrow \frac{9}{4}a^{2}-a^{2}=25 \Leftrightarrow \frac{5}{4}a^{2}=25 \Leftrightarrow a^{2}=20 \Rightarrow a=4\sqrt{5}cm \Rightarrow c=\frac{3}{2}\cdot{4\sqrt{5}}=6\sqrt{5}cm[/tex]

[tex]BL^{2}=AB\cdot{BC}-AL\cdot{BL} = \cdots[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\cdots BL=\sqrt{6\sqrt{5}\cdot{4\sqrt{5}}-3\cdot{2}}=\sqrt{120-6}=\sqrt{114}cm[/tex]

[ammornil]

2. Трапецът ABCD с бедро BC = √6 см е вписан в окръжност с диаметър AB = 6 cm. Намерете лицето на трапеца (в кв.см).

Всеки вписан трапец е равнобедрен [tex]\Rightarrow AD=BC=\sqrt{6}cm[/tex]
[tex]OA=OB=OC=OD=3cm, \hspace{0.7em} DE \bot AB, E \in AB, \hspace{0.7em} CF \bot AB, F \in AB, \hspace{0.7em} DE=CF=h_{\text{тр.}}[/tex]

1 начин

Скрит текст: покажи

[tex][/tex]

Screenshot 2023-05-15 201526.png (15.28 KiB) Прегледано 2949 пъти

[tex][/tex]

[tex]S_{AOD}=\sqrt{\frac{AO+DO+AD}{2}\cdot \frac{AO+DO-AD}{2}\cdot \frac{AO-DO+AD}{2}\cdot \frac{-AO+DO+AD}{2}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{(6+\sqrt{6})(6-\sqrt{6})(\sqrt{6})(\sqrt{6})}[/tex]

[tex]S_{AOD}=\frac{1}{4}\sqrt{(6^{2}-\sqrt{6^2})\cdot 6}=\frac{1}{4}\sqrt{30\cdot 6}=\frac{3\sqrt{5}}{2}cm^{2}[/tex]

[tex]S_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot{AO}\cdot{DE} \Rightarrow DE=\frac{2\cdot S_{AOD}}{AO}=\frac{2\cdot 3\sqrt{5}}{3\cdot 2}=\sqrt{5}cm[/tex]

[tex]DEFC \text{ правоъгълник по построение } \Rightarrow EF=CD=b[/tex]

[tex]\triangle{AED} \cong \triangle{BFC} (\text{катет и хипотенуза от единия правоъгълен триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от другия}) \Rightarrow AE=BF=\frac{AB-EF}{2}=\frac{6-b}{2}[/tex]

[tex]\triangle{AED} \rightarrow AD^{2} = AE^{2} + DE^{2} \Leftrightarrow (\sqrt{6})^{2}=\frac{(6-b)^{2}}{4}+(\sqrt{5})^{2} \Leftrightarrow 4\cdot{6}=6^{2}-2\cdot{6}\cdot{b}+b^{2}+4\cdot{5} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow b^{2}-12b+32=0 \Rightarrow b_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{6^{2}-1\cdot{32}}}{1}=\frac{6\pm 2}{1} \Rightarrow \begin{cases} b_{1}=6 + 2 > AB \notin DM \\ b_{2}=4 \in DM \end{cases} \Rightarrow b=4cm[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot{DE}=\frac{6+4}{2}\cdot{\sqrt{5}}=5\sqrt{5}cm^{2}[/tex]

2 начин

Скрит текст: покажи

Screenshot 2023-05-15 203629.png (18.18 KiB) Прегледано 2949 пъти

[tex]\triangle{ABD} \text{ вписан }, AB-\text{ диаметър } \Rightarrow \angle{ADB}=90^{\circ} \Rightarrow BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=6^{2}-(\sqrt{6})^{2}=30 \Rightarrow BD=\sqrt{30}[/tex]
[tex]S_{ABD}=\frac{AB\cdot DE}{2} = \frac{AD\cdot BD}{2} \Rightarrow DE=\frac{AD\cdot BD}{AB}=\frac{\sqrt{30}\cdot \sqrt{6}}{6}=\sqrt{5}[/tex]

[tex]\begin{cases} \angle{ADE}=90^{\circ}-\angle{DAE} \\ \angle{DBA}=90^{\circ}-\angle{DAB} \end{cases} \Rightarrow \angle{ADE}=\angle{DBA}[/tex]
[tex]\frac{DE}{DB}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{6}, \angle{ADE}=\angle{DBA} \Rightarrow \triangle{AFD} \sim \triangle{ADB} \Rightarrow \frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{6} \Rightarrow AE=\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot{AD}=1cm[/tex]

[tex]DEFC \text{ правоъгълник по построение } \Rightarrow EF=CD=b[/tex]
[tex]\triangle{AED} \cong \triangle{BFC} (\text{катет и хипотенуза от единия правоъгълен триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от другия}) \Rightarrow AE=BF=1cm[/tex]
[tex]AB=AE+EF+FB \Leftrightarrow 6 = 2\cdot 1 + b \Leftrightarrow b=4cm[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot{DE}=\frac{6+4}{2}\cdot{\sqrt{5}}=5\sqrt{5}cm^{2}[/tex]

[ammornil]

10. Катетите в правоъгълен триъгълник са 18 cm и 24 см. От върха на правия ъгъл са прекарани височината и ъглополовящата към хипотенузата. Намерете дължините на отсечките, на които се разделя хипотенузата.

Screenshot 2023-05-15 212229.png (8.8 KiB) Прегледано 2947 пъти

[tex]AC=18, BC=24 \Rightarrow AB=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=30[/tex]
[tex]CD \bot AB \Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB\cdot CD}{2}=\frac{AC\cdot BC}{2} \Rightarrow CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{18\cdot 24}{30}=\frac{72}{5}[/tex]

[tex]AD=x, BD=30-x, \hspace{2em} \because AC< BC \Rightarrow AD < BD[/tex]

[tex]AD\cdot BD = CD^{2} \Leftrightarrow x(30-x)=\frac{72^{2}}{25} \Leftrightarrow 750x-25x^{2}=5184 \Leftrightarrow 25x^{2}-750x+5184[/tex]

[tex]\Rightarrow x_{1,2}=\frac{350 \pm 105}{25} \Rightarrow \begin{cases} AD=x_{1}=\frac{49}{5} \rightarrow BD=30-x_{1}=\frac{101}{5}, AD < BD \Rightarrow \in DM \\ AD=x_{2}=\frac{101}{5} \rightarrow BD=30-x_{1}=\frac{49}{5}, AD > BD \Rightarrow \notin DM\end{cases} \Rightarrow[/tex]$$ AD=\frac{49}{5}, \hspace{2em} BD=\frac{101}{5} $$

[tex]AE = y, BE=30-y[/tex]
[tex]\frac{AE}{BE}=\frac{AC}{BC} \Leftrightarrow \frac{y}{30-y}=\frac{18}{24} \Leftrightarrow 4y=3(30-y) \Leftrightarrow 7y=90 \Leftrightarrow y=\frac{90}{7} \Rightarrow[/tex]$$ AE=\frac{90}{7}, \hspace{2em} BE=\frac{120}{7}$$

[tex]DE=AE-AD=\frac{90}{7}-\frac{49}{5}=\frac{5\cdot 90-7\cdot 49}{35}=\frac{107}{35}[/tex]

$$ AD=9\frac{4}{5}cm, \hspace{2em} DE=3\frac{2}{35}cm, \hspace{2em} BE = 17\frac{1}{7}cm $$

ПРОВЕРКА
[tex]\frac{49}{5}=\frac{343}{35}, \hspace{2em} \frac{120}{7}=\frac{600}{35}[/tex]
[tex]AD+DE+DB=AB \Leftrightarrow \frac{343}{35}+\frac{107}{35}+\frac{600}{35}=\frac{1035}{35}=30[/tex]

[Евва]

10 зад.Ще ползвам чертежа и означенията на ammornil .
AD=?
AD е проекцията на катета b в/у хипотенузата с [tex]\Rightarrow[/tex] е в сила формулата [tex]b^{2 }[/tex] =c.[tex]b_{1 }[/tex]
[tex]18^{2 }[/tex]=30.AD ; AD=10,8 см.(1)

Нека АЕ=у ,ВЕ=30-у =?
СЕ е ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АЕ}{ВЕ}[/tex]=[tex]\frac{АС}{ВС}[/tex] ; [tex]\frac{у}{30-у}[/tex]=[tex]\frac{18}{24}[/tex] ; у=[tex]\frac{90}{7}[/tex]
ВЕ=30-у =[tex]\frac{30.7}{7}[/tex] -[tex]\frac{90}{7}[/tex]=[tex]\frac{120}{7}[/tex]
ВЕ= 17[tex]\frac{1}{7}[/tex] см.(2)

DE=AB-AD-BE =30-10,8-[tex]\frac{120}{7}[/tex] =[tex]\frac{19,2.7-120}{7}[/tex] =[tex]\frac{14,4}{7}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{144}{10} }{7}[/tex] =[tex]\frac{144}{70}[/tex]
DE=2[tex]\frac{4}{70}[/tex] см.(3)

[Евва]

1 зад. Аз получавам ВС=а= 2[tex]\sqrt{5}[/tex] см.
[tex]\triangle[/tex]LBC е правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]LC^{2 }+BC^{2}=BL^{2}[/tex]
4+20=[tex]BL^{2 }[/tex] ; BL=[tex]\sqrt{24}[/tex]=2[tex]\sqrt{6}[/tex] см.

[ammornil]

1 зад. Аз получавам ВС=а= 2[tex]\sqrt{5}[/tex] см.
[tex]\triangle[/tex]LBC е правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]LC^{2 }+BC^{2}=BL^{2}[/tex]
4+20=[tex]BL^{2 }[/tex] ; BL=[tex]\sqrt{24}[/tex]=2[tex]\sqrt{6}[/tex] см.

Права сте. Грешно съм коренувал 20.
Благодаря за корекцията!

[ammornil]

10 зад.Ще ползвам чертежа и означенията на ammornil .
AD=?
AD е проекцията на катета b в/у хипотенузата с [tex]\Rightarrow[/tex] е в сила формулата [tex]b^{2 }[/tex] =c.[tex]b_{1 }[/tex]
[tex]18^{2 }[/tex]=30.AD ; AD=10,8 см.(1)

Нека АЕ=у ,ВЕ=30-у =?
СЕ е ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АЕ}{ВЕ}[/tex]=[tex]\frac{АС}{ВС}[/tex] ; [tex]\frac{у}{30-у}[/tex]=[tex]\frac{18}{24}[/tex] ; у=[tex]\frac{90}{7}[/tex]
ВЕ=30-у =[tex]\frac{30.7}{7}[/tex] -[tex]\frac{90}{7}[/tex]=[tex]\frac{120}{7}[/tex]
ВЕ= 17[tex]\frac{1}{7}[/tex] см.(2)

DE=AB-AD-BE =30-10,8-[tex]\frac{120}{7}[/tex] =[tex]\frac{19,2.7-120}{7}[/tex] =[tex]\frac{14,4}{7}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{144}{10} }{7}[/tex] =[tex]\frac{144}{70}[/tex]
DE=2[tex]\frac{4}{70}[/tex] см.(3)

И тук имам аритметична грешка: [tex]750\div 2=375 \ne 350... \Rightarrow AD=\frac{375-105}{25}=\frac{54}{5} \Rightarrow BD=\frac{96}{5} \hspace{3em} \cdots[/tex]