Задачка

[Гост]

Моля, помогнете ми със следната задача:

[pal702004]

По подточка а).
Хващаме някаква пръчка, без значение коя и и търсим двойка. "Правилната" е само една измежду останалите $2n-1$ и вероятността да изтеглим точно нея е $\dfrac{1}{2n-1}$

АКО сме имали успех, трябва с останалите $2n-2$ пръчки да направим същото - избираме една случайно, след това и избираме двойка с вероятност да е точно която трябва $\dfrac{1}{2n-3}$

И така докато съединим всички клечки. Понеже на всяка итерация трябва да имаме успех - логическо И, то имаме умножение на вероятности: $\dfrac{1}{2n-1} \cdot \dfrac{1}{2n-3}\cdots$

Или $P_1=\dfrac{1}{1\cdot 3\cdot 5 \cdot(2n-1)}$. Произведението на всички нечетни числа от $1$ до $2n-1$

С подточка б) имаме повече шансове...
Пак хващаме някаква клечка, без значение каква и и търсим другарче. Вероятността да успеем вече е $\dfrac{n}{2n-1}$ (В останалата купчина има $n-1$ пръчки от нейния вид и $n$ от другия)

В края на краищата ще се получи $P_2=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{1\cdot 3\cdot 5 \cdot(2n-1)}$

[pal702004]

Да се опитаме да упростим: прозведението на нечетните числа от $1$ до $2n-1$ можем да запишем като

$\dfrac{(2n-1)!}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n-2)}=\dfrac{(2n-1)!}{2^{n-1}\cdot (n-1)!}$

Така получаваме $P_2=\dfrac{2^{n-1}\cdot (n-1)!\cdot n!}{(2n-1)!}=\dfrac{2^{n-1}}{C_{2n-1}^{n-1}}$