Ъглополивяща и подобни триъгълници

[Гост]

Отсечката AL (L принадлежи на ВС) е ъглополивяща на триъгълника АВС, а точка М е средата на AL. Правата BM пресича AC в точка N. Ако AN:NC=1:5, намерете отношението AB:AC.
Предварително благодаря!

[Гост]

Отсечката AL (L принадлежи на ВС) е ъглополивяща на триъгълника АВС...

Какво означава една отсечка да е "ъглополивяща на триъгълник?"
Чувал съм за ъглополовяща на ъгъл, но не и на триъгълник!

[Гост]

Печатна грешка, трябва да е "В триъгълник АВС"

[Гост]

Отговор-page-001 (1).jpg (167.63 KiB) Прегледано 2479 пъти

[Гост]

Страшно съм Ви благодарна! БЛАГОДАРЯ!

[S.B.]

Отсечката AL (L принадлежи на ВС) е ъглополивяща на триъгълника АВС, а точка М е средата на AL. Правата BM пресича AC в точка N. Ако AN:NC=1:5, намерете отношението AB:AC.
Предварително благодаря!

Без заглавие (29).png (240.59 KiB) Прегледано 2428 пъти

Още един поглед върху задачата:

За [tex]\triangle ALC[/tex] и правата $BN$ прилагам теоремата на Менелай:

[tex]\frac{CB}{BL} . \frac{LM}{MA} . \frac{AN}{NC} = 1 \Leftrightarrow \frac{CB}{BL}. \frac{y}{y} . \frac{x}{5x} = 1 \Leftrightarrow \frac{CB}{BL}. \frac{1}{1} .\frac{1}{5} = 1 \Leftrightarrow \frac{CB}{BL} = \frac{5}{1} \Rightarrow \frac{CL}{BL} = \frac{4}{1}[/tex]

По условие $AL$ е ъглополовяща, [tex]L \in BC[/tex] и [tex]\frac{CL}{BL} = \frac{4}{1} \Leftrightarrow \frac{BL}{CL} = \frac{1}{4}[/tex]
$$\Rightarrow AB:AC = 1:4$$

[Гост]

Ако не търсим решение с училищен материал, например, ако това е задача в изчислително състезание (само с отговори), може и така.

Нека AB-page-001.jpg (128.75 KiB) Прегледано 2410 пъти

[ptj]

Има доста лесно решение с теорема на Талес:

Достатъчно е да построим през [tex]L[/tex] права успоредна на [tex]NB[/tex] и означим пресечената и точка с [tex]AC[/tex] с [tex]К[/tex].


[tex]АN:NK=AM:ML[/tex] (Талес), а по условие дясното съотношение е 1:1.

От [tex]AN:NK=1:1[/tex] (последния ред) и AN:NC=1:5 (по условие) намираме, че [tex]АN:NK:NC=1:1:(5-1)=1:1:4[/tex].

Понеже [tex]BN \parallel KL[/tex], то може да приложим теоремата на Талес: [tex]KC:NK=CL:LB[/tex].

Първото от последните две съотношения е 4:1 (горния ред) , сл. [tex]CL:LB=4:1[/tex].

Прилагаме свойство на ъглополовящата [tex]AC:AB=CL:LB[/tex] и намираме, че [tex]AC:AB=4:1[/tex].

П.П. Друг вариант за решение е използването на вектори.

[Гост]

Благодаря на всички за помощта!