Решаване на системни уравнениячрез пологате

[Гост]

1 зад. x-y+5/x-y = 6
x²-2xy+y²+3x+y = 16

2 зад. 4/x-2y + x-2y = 5
x²+y²-5x+4 = 0

[ammornil]

Задачите са неясно написани, моля използвайте скоби, когато имате сбор или разлика в знаменател.

Предположение 1:
[tex]\begin{array}{|l} x-y+\frac{5}{x-y}=6 \\ x^{2}-2xy+y^{2}+3x+y=16 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x-y+\frac{5}{x-y}=6 \\ (x - y)^{2}+2x+x+2y-y = 16 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x-y+\frac{5}{x-y}=6 \\ (x - y)^{2}+(x-y)+2(x+y)= 16 \end{array}[/tex]$$\begin{array}{|l} x -y=u \\ x + y = v \end{array}$$[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} u+\frac{5}{u}=6 \\ u^{2}+u+2v=16 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} u^{2}-6u+5=0 \\ v=\frac{16-u^{2}-u}{2} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} u_{1}=1 \\ v_{1}=7 \end{array} \cup \begin{array}{|l} u_{2}=2 \\ v_{2}=5 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_{1}-y_{1}=1 \\ x_{1}+y_{1}=7 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x_{2}-y_{2}=2 \\ x_{2}+y_{2}=5 \end{array} \\ \phantom{q} \\ \Rightarrow \begin{array}{|l} 2x_{1}=8 \\ y_{1}=7-x_{1} \end{array} \cup \begin{array}{|l} 2x_{2}=7 \\ y_{2}=5-x_{2} \end{array} \Rightarrow[/tex]$$ \begin{array}{|l} x_{1}=4 \\ y_{1}=3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x_{2}=3\frac{1}{2} \\ y_{2}=1\frac{1}{2} \end{array} $$

[ammornil]

2 зад. 4/x-2y + x-2y = 5
x²+y²-5x+4 = 0

Допускам, че условието е $$ \begin{array}{|l} \frac{\normalsize{4}}{\normalsize{x-2y}}+x-2y=5 \\ \phantom{q} \\ x^{2}+y^{2} -5x+4=0 \end{array} $$
Тук ми убягва субституцията за оригиналната система, но ако разгледаме само първото уравнение, можем да кажем, че:
[tex]\frac{4}{x-2y}+x-2y=5, \hspace{1em} \therefore x\ne 2y \\ x-2y = u \ne 0 \Leftrightarrow y=\frac{x-u}{2} \Rightarrow \frac{4}{u}+u-5=0 \Leftrightarrow u^{2}-5u+4=0 \Rightarrow u_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm3}{2} \rightarrow \begin{cases} u_{1}=4 \\ u_{2}=1\end{cases}[/tex]
Дадената в началото система се развива в две нови системи, където: $$ \begin{array}{|l} y=\frac{\normalsize{x-4}}{\normalsize{2}}\\ x ^{2}+\left(\frac{\normalsize{x-4}}{\normalsize{2}} \right)^{2}-5x+4=0 \end{array} \hspace{2em} \cup \hspace{2em} \begin{array}{|l} y=\frac{\normalsize{x-1}}{\normalsize{2}}\\ x ^{2}+\left(\frac{\normalsize{x-1}}{\normalsize{2}} \right)^{2}-5x+4=0 \end{array}$$Оттук опростяваме второто уравнение до квадратно равенство за [tex]x[/tex]. Така изначалната система може да има до 4 реални двойки корени (по две от всяка подсистема), или по-малко ако второто уравнение няма реални корени в някоя от подсистемите.